17. Простейшие уравнения: Линейные, квадратные, кубические уравнения
Решите уравнение $x^2-16 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Разложим выражение по формуле разности квадратов: $$x^2-16 = (x-4)(x + 4)$$ Произведение двух чисел равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю: $$(x-4)(x + 4) = 0$$ $$x-4 = 0 \quad \text{или} \quad x + 4 = 0$$ Следовательно, $$x = 4 \quad \text{или} \quad x = -4.$$ Меньший корень равен $-4$.
20
Решите уравнение $x^2-25 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Разложим выражение по формуле разности квадратов: $$x^2-25 = (x-5)(x + 5)$$ Произведение двух чисел равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю: $$(x-5)(x + 5) = 0$$ $$x-5 = 0 \quad \text{или} \quad x + 5 = 0$$ Следовательно, $$x = 5 \quad \text{или} \quad x = -5.$$ Меньший корень равен $-5$.
20
Решите уравнение $x^2 + 6x + 9 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат: $$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$ Уравнение принимает вид: $$(x + 3)^2 = 0$$ Извлечем квадратный корень из обеих частей: $$x + 3 = 0$$ $$x = -3$$ Уравнение имеет единственный корень $x = -3$.
20
Решите уравнение $x^2-4x + 4 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат: $$x^2-4x + 4 = (x-2)^2$$ Уравнение принимает вид: $$(x-2)^2 = 0$$ Извлечем квадратный корень из обеих частей: $$x-2 = 0$$ $$x = 2$$ Уравнение имеет единственный корень $x = 2$.
20
Решите уравнение $x^2-5x-24 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Найдем дискриминант: $$D = b^2-4ac = (-5)^2-4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$$ Теперь найдем корни: $$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{5 + 11}{2} = 8$$ $$x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{5-11}{2} = -3$$ Больший из корней равен $8.$
20
Решите уравнение $x^2 + 3x-10 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Найдем дискриминант: $$D = b^2-4ac = 3^2-4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$$ Теперь найдем корни: $$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-3 + 7}{2} = 2$$ $$x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-3-7}{2} = -5$$ Больший из корней равен $2$, его и запишем в ответ.
20
Решите уравнение $2x^2-8x + 6 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Сначала упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 2: $$x^2-4x + 3 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2-4ac = (-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3 = 16-12 = 4$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$$ Теперь найдем корни: $$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{4 + 2}{2} = 3$$ $$x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{4-2}{2} = 1$$ Меньший из корней равен $1$, его и запишем в ответ.
20
Найдите корень уравнения $3 + 6x = 2x + 7$.
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а остальные — в правую: $$6x-2x = 7-3$$ $$4x = 4$$ $$x = 1$$$19$
20
Найдите корень уравнения $4x-7 = 3x + 5$.
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а остальные — в правую: $$4x-3x = 5 + 7$$ $$x = 12$$
20
Найдите корень уравнения $10x + 3 = 6x-9$.
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а остальные — в правую: $$10x-6x = -9-3$$ $$4x = -12$$$$x = -3$$
20
Найдите корень уравнения $2 + 5(4x-3) = 17$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$2 + 20x-15 = 17$$ $$20x = 17-2 + 15$$ $$20x = 30$$ $$x = 1.5$$
20
Найдите корень уравнения $3 + 2(5x-4) = 11$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$3 + 10x-8 = 11$$ $$10x = 11-3 + 8$$ $$10x = 16$$ $$x = 1.6$$
20
Найдите корень уравнения $\dfrac{2x + 3}{4} = 5$.
Умножим обе части уравнения на $4,$ чтобы избавиться от знаменателя: $$2x + 3 = 20$$ Перенесем слагаемые: $$2x = 20-3$$ $$2x = 17$$ $$x = 8.5$$
20
Найдите корень уравнения $5-\dfrac{2x + 1}{3} = 2$.
Сначала перенесем $5$ в правую часть: $$-\dfrac{2x + 1}{3} = 2-5$$ $$-\dfrac{2x + 1}{3} = -3$$ Умножим обе части на $-1$: $$\frac{2x + 1}{3} = 3$$ Умножим обе части на $3{:}$ $$2x + 1 = 9$$ Перенесем слагаемые: $$2x = 9-1$$ $$2x = 8$$ $$x = 4$$
20
Решите уравнение $x^2-5x = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Вынесем общий множитель за скобки: $$x(x-5) = 0$$ Произведение чисел равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю. Следовательно, $$x = 0 \quad \text{или} \quad x-5 = 0$$ откуда $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 5$$ Больший корень равен $5$.
20
Решите уравнение $x^2 + 4x = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Вынесем общий множитель за скобки: $$x(x + 4) = 0$$ Произведение чисел равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю. Следовательно, $$x = 0 \quad \text{или} \quad x + 4 = 0$$ откуда $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = -4$$ Больший корень равен $0$.
20
Решите уравнение $2x^2- 8 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Перенесем свободный член в правую часть: $$2x^2 = 8$$ Разделим обе части на $2{:}$ $$x^2 = 4$$ Извлечем квадратный корень из обеих частей: $$x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2$$ Больший корень равен $2$.
20
Найдите корень уравнения $2+9x=4x+3.$
Перенесем слагаемые, содержащие $x,$ в левую часть уравнения, а остальные — в правую: $$9x-4x=3-2$$ $$5x=1$$ $$x=0.2$$
20
Найдите корень уравнения $1+8(3x+7)=9.$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$1+24x+56=9$$ $$24x=9-1-56$$ $$24x=-48$$ $$x=-2$$
20
Решите уравнение $x^2-3x=0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Вынесем общий множитель за скобки: $$x(x-3)=0$$ Произведение чисел равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю. Следовательно, $x=0$ или $x-3=0,$ откуда $x=0$ или $x=3.$ Больший корень равен $3.$
20