16. Вычисления и преобразования: Преобразования числовых логарифмических выражений

Найдем значение внутреннего логарифма: $$\log_{3}243=5$$ Вычислим внешний логарифм: $$\log_{5}5=1$$

Найдем значение внутреннего логарифма: $$\log_{5}125=3$$ Вычислим внешний логарифм: $$\log_{3}3=1$$

В числителе вынесем степень аргумента как множитель перед логарифмом: $$\dfrac{\log_{3}(7^{6})}{3\log_{3}7}=\dfrac{6\log_{3}7}{3\log_{3}7}$$ Сократим логарифмы и произведем вычисления: $$\dfrac{6\cancel{\log_{3}7}}{3\cancel{\log_{3}7}}=\frac{6}{3}=2$$

В числителе вынесем степень аргумента как множитель перед логарифмом: $$\dfrac{\log_{5}(6^{9})}{3\log_{5}6}=\dfrac{9\log_{5}6}{3\log_{5}6}$$ Сократим логарифмы и произведем вычисления: $$\dfrac{9\cancel{\log_{5}6}}{3\cancel{\log_{5}6}}=\frac{9}{3}=3$$

Занесем множитель перед логарифмом в логарифм в качестве степени аргумента: $$8^{4\log_{8}3}=8^{\log_{8}3^4}$$ Воспользуемся основным свойством логарифмов, а затем произведем вычисления: $$8^{\log_{8}3^4}=3^4=81$$

Занесем множитель перед логарифмом в логарифм в качестве степени аргумента: $$5^{2\log_{5}6}=5^{\log_{5}6^2}$$ Воспользуемся основным свойством логарифмов, а затем произведем вычисления: $$5^{\log_{5}6^2}=6^2=36$$

Представим корень в виде степени, а затем, вынесем как множитель перед логарифмом: $$\log_{{7^{\frac{1}{4}}}}7^{3}=4\log_{{7}}7^{3}$$ Произведем вычисления: $$4\log_{{7}}7^{3}=4\cdot 3=12$$

Представим корень в виде степени, а затем, вынесем как множитель перед логарифмом: $$\log_{{5^{\frac{1}{4}}}}5^{2}=4\log_{{5}}5^{2}$$ Произведем вычисления: $$4\log_{{5}}5^{2}=4\cdot 2=8$$

При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются. Разложим данное число на множители: $$2^{\log_{2}7+2}=2^{\log_{2}7}\cdot 2^2$$ $$2^{\log_{2}7}\cdot 2^2=7\cdot4 =28$$

При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются. Разложим данное число на множители: $$3^{\log_{3}8+2}=3^{\log_{3}8}\cdot 3^2$$ $$3^{\log_{3}8}\cdot 3^2=8\cdot9 =72$$

Так как основания логарифмов одинаковые, слагаемые можно занести под один логарифм: $$\log_{20}25+\log_{20}16=\log_{20}25\cdot16$$ $$\log_{20}400 = 2$$

Так как основания логарифмов одинаковые, слагаемые можно занести под один логарифм: $$\log_{15}75+\log_{15}45=\log_{15}75\cdot45$$ $$\log_{15}3\space375=3$$

Так как основания логарифмов одинаковые, разность можно занести под один логарифм: $$\log_{2}352-\log_{2}11=\log_{2}352:11$$ $$\log_{2}32=5$$

Так как основания логарифмов одинаковые, разность можно занести под один логарифм: $$\log_{5}75-\log_{5}3=\log_{5}75:3$$ $$\log_{5}25=2$$