16. Вычисления и преобразования: действия со степенями

Произведем возведение в степень: $$(0.01)^{2}\cdot10^{4}\cdot2^{3}=0.0001\cdot10\space000\cdot8$$ $$0.0001\cdot10\space000\cdot8=8$$

Произведем возведение в степень: $$(0.01)^{2}\cdot10^{5}:2^{-3}=0.0001\cdot100\space000:\dfrac{1}{8}$$ $$0.0001\cdot100\space000\cdot \dfrac{8}{1} = 80$$

От перестановки множителей произведение не меняется: $$(5\cdot10^{-6})\cdot(2.6\cdot 10^{5})=5\cdot10^{-6}\cdot2.6\cdot 10^{5}$$ $$5\cdot2.6\cdot 10^{5}\cdot10^{-6}=13\cdot 10^{-1}=1.3$$

От перестановки множителей произведение не меняется: $$(7\cdot10^{-5})\cdot(5.2\cdot 10^{5})=7\cdot10^{-5}\cdot5.2\cdot 10^{5}$$ $$7\cdot5.2\cdot 10^{5}\cdot10^{-5}=36.4$$

Выполним возведение в степень: $$\dfrac{0.1^{4}}{10^{-2}}\cdot10^{5}=\dfrac{0.0001}{0.01}\cdot10^{5}$$ $$0.01\cdot 10^{5}=1\space000$$

Выполним возведение в степень: $$\dfrac{0.1^{2}}{10^{-2}}\cdot10^{4}=\dfrac{0.01}{0.01}\cdot10^{4}$$ $$1\cdot 10^{4}=10\space000$$

Возведем степень в степень в числителе: $$\dfrac{(2^{-4})^2}{2^{-10}}=\dfrac{2^{-8}}{2^{-10}}$$ При делении степени вычитаются: $$2^{-8}:2^{-10}=2^{-8-(-10)}$$ $$2^{-8-(-10)}=2^2=4$$

Возведем степень в степень в числителе: $$\dfrac{(3^{-4})^2}{3^{-10}}=\dfrac{3^{-8}}{3^{-10}}$$ При делении степени вычитаются: $$3^{-8}:3^{-10}=3^{-8-(-10)}$$ $$3^{-8-(-10)}=3^2=9$$

При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении — вычитаются. $$\dfrac{2^{-5}\cdot 2^2}{2^{-6}}=\dfrac{2^{-5+2}}{2^{-6}}$$ $$\dfrac{2^{-3}}{2^{-6}}=2^{-3}:2^{-6}$$ $$2^{-3}:2^{-6}=2^{-3-(-6)}$$ $$2^{-3-(-6)}=2^3=8$$

При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении — вычитаются. $$\dfrac{5^{-10}\cdot 5^8}{5^{-4}}=\dfrac{5^{-10+8}}{5^{-4}}$$ $$\dfrac{5^{-2}}{5^{-4}}=5^{-2}:5^{-4}$$ $$5^{-2}:5^{-4}=5^{-2-(-4)}$$ $$5^{-2-(-4)}=5^2=25$$

При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении — вычитаются. $$7^4\cdot7^{-5-(-2)}=7^4\cdot 7^{-3}$$ $$7^4\cdot 7^{-3}=7^1=7$$

При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении — вычитаются. $$2^{-5}\cdot2^{3-(-3)}=2^{-5}\cdot 2^{6}$$ $$2^{-5}\cdot 2^{6}=2^1=2$$

Представим $16$ в виде $4$ в степени $2{:}$ $$\dfrac{16^{5}}{4^{8}}=\dfrac{(4^{2})^{5}}{4^{8}}$$ при возведении степени в степень степени перемножаются: $$\dfrac{(4^{2})^{5}}{4^{8}}=\dfrac{4^{10}}{4^{8}}$$ При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$\dfrac{4^{10}}{4^{8}}=4^{10-8}$$ $$4^{10-8}=4^2=16$$

Представим $81$ в виде $3$ в степени $4{:}$ $$\dfrac{81^{3}}{3^{9}}=\dfrac{(3^{4})^{3}}{3^{9}}$$ при возведении степени в степень степени перемножаются: $$\dfrac{(3^{4})^{3}}{3^{9}}=\dfrac{3^{12}}{3^{9}}$$ При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$\dfrac{3^{12}}{3^{9}}=3^{12-9}$$ $$3^{12-9}=3^3=27$$

Представим знаменатель дроби в виде произведения: $$\dfrac{5^{29}\cdot 7^{28}}{35^{27}}=\dfrac{5^{29}\cdot 7^{28}}{5^{27}\cdot 7^{27}}$$ Произведем сокращения: $$\dfrac{5^{{}^2\cancel{29}}\cdot 7^{{}^1\cancel{28}}}{\cancel{5^{27}}\cdot \cancel{7^{27}}}=5^2\cdot 7=175$$

Представим знаменатель дроби в виде произведения: $$\dfrac{4^{10}\cdot 9^{9}}{36^{8}}=\dfrac{4^{10}\cdot 9^{9}}{4^{8}\cdot 9^{8}}$$ Произведем сокращения: $$\dfrac{4^{{}^2\cancel{10}}\cdot 9^{{}^1\cancel{9}}}{\cancel{4^{8}}\cdot \cancel{9^{8}}}=4^2\cdot 9=144$$

Возведем числа в степени и выполним вычисления: $$7 \cdot 2^3 + 3\cdot 2^2=7 \cdot 8 + 3\cdot 4$$ $$7 \cdot 8 + 3\cdot 4=56+12=68$$

Возведем числа в степени и выполним вычисления: $$9 \cdot (-1)^2 + 3\cdot (-1)^3=9 \cdot 1 + 3\cdot (-1)$$ $$9 \cdot 1 + 3\cdot (-1)=9-3=6$$

Возведем числа в степени и выполним вычисления: $$(-10)^5 + (-10)^3 + (-10)^0=-100\space000-1\space000+1$$ $$-100\space000-1\space000+1=-100\space999$$

Возведем числа в степени и выполним вычисления: $$3 \cdot 10^2 + 5\cdot 10^3+4\cdot 10=3 \cdot 100 + 5\cdot 1\space 000+40$$ $$3 \cdot 100 + 5\cdot 1\space 000+40=300+5\space000+40$$ $$300+5\space000+40=5\space340$$