26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #216146

Обоснование:

$1)$ Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

$2)$ Шарики считаем материальными точками.

$3)$ Применяем второй закон Ньютона для описания равновесия системы.

$4)$ Используем правило моментов для определения условий равновесия.

$5)$ Применяем закон трения покоя $F_{\text{тр}} \leq \mu N.$

Решение

$1)$ На большой шарик действуют сила тяжести $Mg,$ сила реакции $N_2,$ сила трения $F_{\text{тр}}$ и сила упругости стержня $T_2.$ На малый шарик действуют сила тяжести $mg,$ сила реакции $N_1$ и сила упругости стержня $T_1.$ Обозначения соответствуют рисунку. Силы $T_1$ и $T_2$ направлены вдоль стержня, равны по модулю и противоположны по направлению. При рассмотрении всей гантели они являются внутренними и взаимно компенсируются.

$2)$ Запишем условия равновесия по осям:

По горизонтали: $$N_1- F_{\text{тр}} = 0$$
По вертикали: $$N_2- Mg- mg = 0$$

$3)$ Из вертикального уравнения: $$N_2 = (M + m)g$$
$4)$ Условие неподвижности: $$F_{\text{тр}} \leq \mu N_2 = \mu g(M + m)$$
$5)$ Запишем правило моментов для всей гантели относительно точки контакта большого шарика со сферической поверхностью. Силы $Mg,$ $N_2$ и $F_{\text{тр}}$ приложены в этой точке и не создают момента. По рисунку плечи сил $N_1$ и $mg$ равны радиусу сферы $R{:}$ $$N_1 R-mgR=0$$
$6)$ Отсюда $$N_1=mg$$
$7)$ Подставляем в условие неподвижности: $$mg \leq \mu g(M + m)$$
$8)$ Решаем неравенство относительно $m{:}$ $$m \leq \mu M + \mu m$$ $$m- \mu m \leq \mu M$$ $$m(1- \mu) \leq \mu M$$ $$m \leq \dfrac{\mu M}{1- \mu}$$
$9)$ Подставляем числовые значения: $$m \leq \dfrac{0.4 \cdot 60}{1- 0.4} = \dfrac{24}{0.6} = 40 \space \text{г}$$ Ответ: $m \leq 40 \space \text{г}.$