26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #216144

Обоснование:

$1)$ Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

$2)$ Стержень и шары считаем абсолютно твердыми телами.

$3)$ Применяем условия равновесия твердого тела:
— сумма внешних сил равна нулю
— сумма моментов внешних сил равна нулю

$4)$ Стержень невесомый, поэтому учитываем только силы тяжести шаров и реакции опор.

Решение:

$1)$ Обозначим расстояния:
$AC = a = 0.2 \space \text{м};$
$CD = b = 0.6 \space \text{м};$
$DB = c = L- a- b = 1- 0.2- 0.6 = 0.2 \space \text{м}.$

$2)$ Запишем правило моментов относительно точки $C{:}$
$$m_1g \cdot a + N_D \cdot b- m_2g \cdot (b + c) = 0$$
$3)$ Выразим $N_D{:}$ $$N_D = \dfrac{m_2g(b + c)- m_1ga}{b}$$
$4)$ Запишем правило моментов относительно точки $D{:}$ $$m_1g \cdot (a + b)- N_C \cdot b- m_2g \cdot c = 0$$
$5)$ Выразим $N_C{:}$ $$N_C = \dfrac{m_1g(a + b)- m_2gc}{b}$$
$6)$ По условию $N_D = 2N_C.$ Подставим выражения: $$\dfrac{m_2g(b + c)- m_1ga}{b} = 2 \cdot \dfrac{m_1g(a + b)- m_2gc}{b}$$
$7)$ Сократим $g$ и $b{:}$ $$m_2(b + c)- m_1a = 2m_1(a + b)- 2m_2c$$
$8)$ Перенесем все члены в одну сторону: $$m_2(b + c) + 2m_2c- m_1a- 2m_1(a + b) = 0$$
$9)$ Упростим: $$m_2(b + 3c)- m_1(3a + 2b) = 0$$
$10)$ Выразим $m_1{:}$ $$m_1 = \dfrac{m_2(b + 3c)}{3a + 2b}$$
$11)$ Подставим числовые значения: $$m_1 = \dfrac{0.3 \cdot (0.6 + 3 \cdot 0.2)}{3 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.6} = \dfrac{0.3 \cdot (0.6 + 0.6)}{0.6 + 1.2} = \dfrac{0.3 \cdot 1.2}{1.8} = \dfrac{0.36}{1.8} = 0.2 \space \text{кг}$$ Ответ: $0.2 \space \text{кг}$ масса левого шарика $m_1.$