26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #216142

Обоснование:

$1)$ Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

$2)$ Стержень считаем абсолютно твердым телом.

$3)$ Применяем условия равновесия твердого тела:
— сумма сил равна нулю
— сумма моментов сил равна нулю

$4)$ Используем закон Архимеда для силы, действующей на погруженную часть стержня.

$5)$ Применяем третий закон Ньютона для силы в шарнире.

Решение:

$1)$ На стержень действуют силы:
— сила тяжести $mg$ (приложена к середине стержня)
— сила Архимеда $F_A$ (приложена к середине погруженной части)
— сила реакции шарнира $N$ (вертикальная)

$2)$ Длина погруженной части стержня: $$l_1 = \dfrac{h}{\cos \alpha} = \dfrac{0.25}{\cos 60^\circ} = \dfrac{0.25}{0.5} = 0.5 \space \text{м}$$
$3)$ Запишем правило моментов относительно шарнира: $$F_A \cdot \dfrac{l_1}{2} \sin \alpha = mg \cdot \dfrac{l}{2} \sin \alpha$$
$4)$ Сократим общие множители: $$F_A l_1 = mg l$$
$5)$ Выразим силы через плотности: $$F_A = \rho g S l_1, \quad mg = \rho_0 g S l$$
$6)$ Подставим в уравнение моментов: $$\rho g S l_1^2 = \rho_0 g S l^2$$ $$\rho l_1^2 = \rho_0 l^2$$
$7)$ Выразим длину стержня: $$l = l_1 \sqrt{\dfrac{\rho}{\rho_0}} = 0.5 \cdot \sqrt{\dfrac{1\space000}{250}} = 0.5 \cdot \sqrt{4} = 1 \space \text{м}$$
$8)$ Запишем условие равновесия по вертикали: $$F_A- mg- N = 0$$
$9)$ По третьему закону Ньютона $N = F = 0.25 \space \text{Н}$
$10)$ Подставим выражения для сил: $$\rho g S l_1- \rho_0 g S l- F = 0$$
$11)$ Выразим площадь сечения: $$S = \dfrac{F}{g(\rho l_1- \rho_0 l)}$$
$12)$ Подставим числовые значения: $$S = \dfrac{0.25}{10 \cdot (1\space000 \cdot 0.5- 250 \cdot 1)} = \dfrac{0.25}{10 \cdot (500- 250)} = \dfrac{0.25}{10 \cdot 250} = \dfrac{0.25}{2\space500} = 10^{-4} \space \text{м}^2$$
$13)$ Переведем в см$^2{:}$ $$S = 10^{-4} \space \text{м}^2 = 1 \space \text{см}^2$$

Ответ: $1 \space \text{см}^2$ площадь поперечного сечения стержня.