Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #216129
Тонкая прямая однородная палочка массой $m = 0.2 \space \text{кг}$ и длиной $l$ установлена на ребре неподвижной призмы, вокруг которого она может свободно вращаться в вертикальной плоскости (см. рисунок). Точка опоры палочки находится ближе к ее левому концу, на расстоянии $\dfrac{l}{10}$ от ее середины. К левому концу палочки на легких нитях подвешен за ось невесомый блок, который может вращаться вокруг нее без трения. Через блок перекинута легкая нерастяжимая нить, на концах которой закреплены грузы массами $m_1 = 0.5 \space \text{кг}$ и $m_2 = 0.8 \space \text{кг}.$ Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на палочку и на все грузы. Груз какой массы $M$ надо подвесить на легкой нити к правому концу палочки, чтобы она находилась в равновесии в горизонтальном положении при движении грузов $m_1$ и $m_2$ и вращении блока? Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.
Обоснование:
$1)$ Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.
$2)$ Палочку считаем абсолютно твердым телом. Условия равновесия:
— сумма внешних сил равна нулю
— сумма моментов внешних сил равна нулю
$3)$ Нить и блок невесомы, трения нет, поэтому силы натяжения одинаковы вдоль каждой нити.
$4)$ Применяем второй закон Ньютона для описания движения грузов.
Решение:
$1)$ Определим расстояния от точки опоры:
— до левого конца: $0.4l$
— до центра палочки: $0.1l$
— до правого конца: $0.6l$
$2)$ Запишем правило моментов для палочки относительно точки опоры: $$T_2 \cdot 0.4l = mg \cdot 0.1l + T \cdot 0.6l$$
$3)$ Для груза $M{:}$ $$T = Mg$$
$4)$ Для невесомого блока: $$T_2 = 2T_1$$
$5)$ Запишем второй закон Ньютона для грузов $m_1$ и $m_2{:}$ $$m_1a = m_1g- T_1$$ $$m_2a = T_1- m_2g$$
$6)$ Сложим уравнения, исключив ускорение: $$m_1a + m_2a = m_1g- T_1 + T_1- m_2g$$ $$(m_1 + m_2)a = (m_1- m_2)g$$ $$a = \dfrac{m_1- m_2}{m_1 + m_2}g$$
$7)$ Найдем $T_1$ из первого уравнения: $$T_1 = m_1g- m_1a = m_1g- m_1 \cdot \dfrac{m_1- m_2}{m_1 + m_2}g = \dfrac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g$$
$8)$ Тогда: $$T_2 = 2T_1 = \dfrac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}g$$
$9)$ Подставим в уравнение моментов: $$\dfrac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}g \cdot 0.4l = mg \cdot 0.1l + Mg \cdot 0.6l$$
$10)$ Сократим $gl{:}$ $$\dfrac{1.6m_1m_2}{m_1 + m_2} = 0.1m + 0.6M$$
$11)$ Выразим $M{:}$ $$0.6M = \dfrac{1.6m_1m_2}{m_1 + m_2}- 0.1m$$ $$M = \dfrac{1}{0.6} \left( \dfrac{1.6m_1m_2}{m_1 + m_2}- 0.1m \right)$$
$12)$ Подставим числовые значения: $$M = \dfrac{1}{0.6} \left( \dfrac{1.6 \cdot 0.5 \cdot 0.8}{0.5 + 0.8}- 0.1 \cdot 0.2 \right) = \dfrac{1}{0.6} \left( \dfrac{0.64}{1.3}- 0.02 \right)$$ $$M = \dfrac{1}{0.6} (0.4923- 0.02) = \dfrac{1}{0.6} \cdot 0.4723 \approx 0.787 \space \text{кг}$$
Ответ: $0.787 \space \text{кг}$ масса груза $M.$
20
