Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #216127
На даче у школьника на горизонтальном полу террасы стояла пластмассовая кубическая емкость для воды, иногда протекающей с крыши. Когда емкость заполнилась наполовину, дедушка попросил внука вылить воду из нее, наклонив вокруг одного из нижних ребер куба, чтобы вода переливалась через соседнее верхнее ребро. Какую работу $A$ совершил внук к моменту начала вытекания воды из емкости, если процесс подъема был очень медленным, так что поверхность воды все время оставалась горизонтальной? Объем воды вначале был равен $V = 108 \space \text{л},$ квадратные стенки емкости и ее днище тонкие, однородные, массой $m = 4 \space \text{кг}$ каждая (сверху емкость открыта).
Сделайте рисунки с указанием положения центров масс воды, днища и стенок емкости до начала наклона емкости и в момент, когда вода начинает выливаться.
Обоснование:
$1)$ Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.
$2)$ Процесс медленный, поэтому работа идет только на увеличение потенциальной энергии системы.
$3)$ Воду считаем несжимаемой жидкостью.
$4)$ Гравитационное поле Земли однородное.
$5)$ Нулевой уровень потенциальной энергии — уровень пола.
Решение:
$1)$ Найдем размеры куба. Объем куба вдвое больше объема воды: $$2V = 216 \space \text{л} = 0.216 \space \text{м}^3$$ $$a^3 = 0.216 \Rightarrow a = 0.6 \space \text{м}$$
$2)$ Начальное положение центров масс:
Центр масс воды:$$h_{B1} = \dfrac{a}{4} = 0.15 \space \text{м}$$
Центр масс боковых стенок $(4$ стенки$){:}$ $$h_{C1} = \dfrac{a}{2} = 0.3 \space \text{м}$$
Центр масс днища: $$h_{D1} = 0$$
$3)$ В момент начала вытекания емкость повернута на угол $\alpha = 45^\circ.$
$4)$ Изменения высот центров масс:
Днище: $$\Delta h_D = \dfrac{a}{2} \sin 45^\circ = \dfrac{0.6}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0.15\sqrt{2} \space \text{м}$$
Боковые стенки: $$\Delta h_C = \dfrac{a}{\sqrt{2}}- \dfrac{a}{2} = 0.6\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}- \dfrac{1}{2}\right) = 0.3(\sqrt{2}- 1) \space \text{м}$$
Вода (центр масс треугольной призмы): $$h_{B2} = \dfrac{2}{3}a\sin 45^\circ = \dfrac{2}{3} \cdot 0.6 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0.2\sqrt{2} \space \text{м}$$ $$\Delta h_B = h_{B2}- h_{B1} = 0.2\sqrt{2}- 0.15 \space \text{м}$$
$5)$ Масса воды: $$M = \rho V = 1\space000 \cdot 0.108 = 108 \space \text{кг}$$
$6)$ Работа равна сумме изменений потенциальных энергий: $$A = mg\Delta h_D + 4mg\Delta h_C + Mg\Delta h_B$$ $$A = 4 \cdot 10 \cdot 0.15\sqrt{2} + 4 \cdot 4 \cdot 10 \cdot 0.3(\sqrt{2}- 1) + 108 \cdot 10 \cdot (0.2\sqrt{2}- 0.15)$$
$7)$ Вычислим численно ($\sqrt{2} \approx 1.414){:}$
Первое слагаемое:$$4 \cdot 10 \cdot 0.15 \cdot 1.414 = 8.484 \space \text{Дж}$$
Второе слагаемое:$$16 \cdot 10 \cdot 0.3 \cdot 0.414 = 19.872 \space \text{Дж}$$
Третье слагаемое:$$1\space080 \cdot (0.2828- 0.15) = 1\space080 \cdot 0.1328 = 143.424 \space \text{Дж}$$
$8)$ Суммарная работа:$$A = 8.484 + 19.872 + 143.424 = 171.78 \space \text{Дж} \approx 172 \space \text{Дж}$$
Ответ: $172 \space \text{Дж}$ работа, совершенная внуком к моменту начала вытекания воды.
20
