26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #216126

Обоснование:

$1)$ Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

$2)$ Палочку считаем абсолютно твердым телом.

$3)$ Условия равновесия твердого тела:
— Сумма внешних сил равна нулю
— Сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю

$4)$ Стенки стакана гладкие, поэтому сила реакции перпендикулярна стенке.

Решение:

$1)$ Обозначим:
$R = 0.04 \space \text{м}$ — радиус стакана;
$l = 0.1 \space \text{м}$ — длина палочки;
$m = 0.0009 \space \text{кг}$ — масса палочки;
$h = 0.04 \space \text{м}$ — высота жидкости;
$\rho_{\text{ж}} = 0.75\rho$ — плотность жидкости.

$2)$ Найдем высоту $H$ верхнего конца палочки над дном:
$$H = \sqrt{l^2- (2R)^2} = \sqrt{0.1^2- (0.08)^2} = \sqrt{0.01- 0.0064} = \sqrt{0.0036} = 0.06 \space \text{м}$$

$3)$ На палочку действуют силы:
— сила тяжести $mg$ (приложена к центру палочки);
— сила Архимеда $F_A$ (приложена к центру погруженной части);
— сила реакции $N$ со стороны стенки (горизонтальная);
— сила реакции дна (вертикальная).

$4)$ Сила Архимеда:
$$F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}} = 0.75\rho g \cdot \dfrac{h}{H}V = 0.75mg\dfrac{h}{H}$$

$5)$ Запишем правило моментов относительно нижнего конца палочки $($точка $A):$

$$mg \cdot R- F_A \cdot \dfrac{h}{2} \cdot \cot\alpha- N \cdot H = 0$$

$6)$ Найдем $\cot\alpha$ из геометрии: $$\cot\alpha = \dfrac{2R}{H} = \dfrac{0.08}{0.06} = \dfrac{4}{3}$$

$7)$ Подставим все выражения: $$mgR- 0.75mg\dfrac{h}{H} \cdot \dfrac{h}{2} \cdot \dfrac{2R}{H}- NH = 0$$

$8)$ Упростим: $$mgR- 0.75mgR\left(\dfrac{h}{H}\right)^2- NH = 0$$

$9)$ Выразим силу реакции $N{:}$ $$N = \dfrac{mgR}{H} \left[1- 0.75\left(\dfrac{h}{H}\right)^2\right]$$

$10)$ Подставим числовые значения: $$N = \dfrac{0.0009 \cdot 10 \cdot 0.04}{0.06} \left[1- 0.75\left(\dfrac{0.04}{0.06}\right)^2\right]$$ $$N = \dfrac{0.00036}{0.06} \left[1- 0.75 \cdot \left(\dfrac{4}{6}\right)^2\right] = 0.006 \cdot \left[1- 0.75 \cdot \dfrac{16}{36}\right]$$ $$N = 0.006 \cdot \left[1- 0.75 \cdot \dfrac{4}{9}\right] = 0.006 \cdot \left[1- \dfrac{3}{9}\right] = 0.006 \cdot \dfrac{2}{3} = 0.004 \space \text{Н}$$

$11)$ По третьему закону Ньютона: $$F = N = 0.004 \space \text{Н} = 4 \space \text{мН}$$

Ответ: $4 \space \text{мН}$ модуль силы, с которой верхний конец палочки давит на стенку стакана.