26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #216125

Обоснование:

$1)$ Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

$2)$ Груз считаем материальной точкой.

$3)$ Балку считаем абсолютно твердым телом.

$4)$ Веревка легкая, поэтому сила натяжения одинакова вдоль всей длины.

$5)$ Балка находится в равновесии, поэтому:
— сумма моментов сил равна нулю;
— сумма сил, действующих на балку, равна нулю.

Решение:

$1)$ Обозначим:
— $T$ — сила натяжения каждого троса (по условию одинаковы);
— $T_1$ — сила натяжения веревки, на которой подвешен груз;
— $x$ — искомое расстояние от точки $A$ до центра тяжести балки.

$2)$ Запишем условие равновесия балки:

Сумма сил по вертикали: $$2T = Mg + T_1$$
$3)$ Запишем правило моментов относительно точки $A{:}$ $$T_1 \cdot d + Mg \cdot x = T \cdot L$$
$4)$ Для груза массой $m{:}$ $$T_1 = mg$$
$5)$ Подставим $T_1 = mg$ в уравнения:

Из уравнения сил: $$2T = Mg + mg \Rightarrow T = \dfrac{(M + m)g}{2}$$

Из уравнения моментов: $$mg \cdot d + Mg \cdot x = T \cdot L = \dfrac{(M + m)g}{2} \cdot L$$

$6)$ Сократим $g{:}$ $$md + Mx = \dfrac{(M + m)L}{2}$$
$7)$ Выразим $x{:}$ $$Mx = \dfrac{(M + m)L}{2}- md$$ $$x = \dfrac{(M + m)L- 2md}{2M}$$

$8)$ Подставим числовые значения: $$x = \dfrac{(100 + 60) \cdot 2- 2 \cdot 60 \cdot 0.5}{2 \cdot 100} = \dfrac{160 \cdot 2- 60}{200} = \dfrac{320- 60}{200} = \dfrac{260}{200} = 1.3 \space \text{м}$$

Ответ: $1.3 \space \text{м}$ расстояние от точки $A$ до центра тяжести балки.