26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #216097

Обоснование:

$1)$ Задачу решаем в инерциальной системе отсчета, связанной с желобом.

$2)$ Тело считаем материальной точкой, так как его размерами можно пренебречь.

$3)$ Для определения точки отрыва применяем второй закон Ньютона, справедливый в выбранной инерциальной системе отсчета.

$4)$ Поскольку трение между телом и желобом отсутствует, выполняется закон сохранения механической энергии.

$5)$ После отрыва тело движется по параболе, применяем кинематические уравнения для тела, брошенного под углом к горизонту.

Решение:

$1)$ Тело не может дойти до наивысшей точки $A$ полуокружности, так как в этой точке на высоте $H$ скорость была бы нулевой, что противоречит второму закону Ньютона. Следовательно, тело отрывается раньше, в точке $B.$

$2)$ Обозначим: $O$ — центр полуокружности, $\alpha$ — угол между отрезком $OB$ и горизонталью, $V$ — скорость тела в точке отрыва. По закону сохранения энергии:

$$mgH = mg\left( \dfrac{H}{2} + \dfrac{H}{2} \sin \alpha \right) + \dfrac{mV^2}{2}$$

$3)$ В точке отрыва сила нормальной реакции равна нулю. Второй закон Ньютона в точке $B{:}$

$$\dfrac{mV^2}{\dfrac{H}{2}} = mg \sin \alpha$$

$4)$ Из уравнений находим:

$$\sin \alpha = \dfrac{2}{3}, \quad V = \sqrt{\dfrac{gH}{3}}$$

$5)$ После отрыва тело движется по параболе. Направим ось $Y$ вертикально вверх, ось $X$ горизонтально. В момент отрыва вектор скорости составляет с осью $Y$ угол $\alpha.$

$6)$ Проекция скорости на ось $Y$ изменяется по закону:

$$V_y = V \cos \alpha- gt$$

$7)$ Модуль скорости минимален в момент достижения максимальной высоты, когда $V_y = 0{:}$

$$V \cos \alpha- gt_0 = 0$$

$8)$ С учетом $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}{:}$

$$t_0 = \dfrac{V \cos \alpha}{g} = \dfrac{1}{g} \sqrt{\dfrac{gH}{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{3} = \dfrac{1}{3} \sqrt{\dfrac{5H}{3g}}$$

$9)$ Подставим числовые значения:

$$t_0 = \dfrac{1}{3} \sqrt{\dfrac{5 \cdot 2.16}{3 \cdot 10}} = \dfrac{1}{3} \sqrt{\dfrac{10.8}{30}} = \dfrac{1}{3} \sqrt{0.36} = \dfrac{1}{3} \cdot 0.6 = 0.2 \space \text{с}$$

Ответ: $t_0 = 0.2 \space \text{с}$ время после отрыва от желоба, когда модуль скорости тела будет минимальным.