18. Планиметрическая задача: #211371

$а)$ Пусть окружность радиусом $R$ касается стороны $AB$ в точке $M$ и стороны $AD$ в точке $L.$ Точка $Q,$ диаметрально противоположная точке $M,$ удалена от $AB$ на расстояние $2R,$ удалена от $CD$ на $AD -2R = R$ и удалена от $AD$ на $R.$ Точка $Q$ равноудалена от сторон $AD$ и $CD$ квадрата $ABCD,$ значит, точка $Q$ лежит на диагонали $BD$ и делит ее в отношении $1:2,$ считая от $D.$ Аналогично точка $P,$ диаметрально противоположная точке $L,$ лежит на диагонали $BD$ и делит ее в отношении $1:2,$ считая от $B.$ Следовательно, $BP = DQ = PQ.$

$б)$ Пусть окружность касается прямой $BE$ в точке $F.$ Продолжим $BE$ до пересечения с прямой $AD$ в точке $K.$ Пусть $KF = KL = x.$ Тогда $AK = AL + KL = 6 + x$ и $KB = BF + KF = BM + KF = 12 + x$.

По теореме Пифагора: $BK^2 = AB^2 + AK^2,$ то есть: $$(12 + x)^2 = 18^2 + (6 + x)^2$$ откуда $x = 18.$ Значит, $DK = x -12 = 6.$ Прямоугольные треугольники $EDK$ и $ECB$ подобны с коэффициентом: $$\frac{DK}{BC} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$$ следовательно: $$DE = \frac{1}{3}CE = \frac{1}{4}CD = \frac{1}{4} \cdot 18 = \frac{9}{2}$$ Ответ:
$а)$ Окружность разбивает диагональ $BD$ на три равных отрезка.
$б)$ $DE = \dfrac{9}{2}.$