Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
18. Планиметрическая задача: #211366
Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону $AD$ в точке $M.$ Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма пересекаются в точке $O.$ Окружность, описанная вокруг треугольника $ABM,$ касается прямых $BC$ и $OM.$
$а)$ Докажите, что $AB \perp BD.$
$б)$ Отрезки $AC$ и $BM$ пересекаются в точке $K.$ Найдите площадь четырехугольника $KODM,$ если $OM = 2.$
$а)$ По свойству угла между касательной и хордой получаем, что угол $CBM$ равен углу $BAM$ и угол $OMB$ равен углу $BAM.$ Кроме того, угол $CBM$ равен углу $BMA$ как накрест лежащие, а угол $ABM$ равен углу $CBM,$ поскольку отрезок $BM$ — биссектриса. Отсюда: $$\angle BAM = \angle ABM = \angle AMB = \angle CBM = \angle OMB = 60^\circ$$
Отрезок $OM$ — средняя линия треугольника $ABD,$ поскольку прямая $OM$ параллельна прямой $AB$ и отрезок $BO$ равен отрезку $OD,$ значит, отрезки $AM, BM$ и $MD$ равны. Откуда угол $ABD$ равен $90^\circ.$
$б)$ Угол $ODM$ равен $180^\circ -90^\circ -60^\circ = 30^\circ.$ Следовательно, $MD = 20M = 4.$ По теореме Менелая для треугольника $BMD$ и секущей $OK$ получим: $$\frac{OD}{OB} \cdot \frac{BK}{KM} \cdot \frac{MA}{AD} = 1 \Leftrightarrow 1 \cdot \frac{BK}{KM} \cdot \frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{BK}{KM} = 2$$ Следовательно: $$\frac{BK}{BM} = \frac{2}{3}$$
Площадь треугольника $BKO$ равна $S_{BKO} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot S_{BMD}.$ Найдем площадь четырехугольника $KODM{:}$ $$S_{KODM} = \frac{2}{3} \cdot S_{BMD} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 120^\circ = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$$ Ответ:
$а)$ $AB \perp BD.$
$б)$ $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}.$
20
