17. Планиметрическая задача: #211342

$а)$ Лучи $CO$ и $DO$ являются биссектрисами углов $BCD$ и $ADC$ соответственно, поэтому

$$\angle DCO + \angle CDO = \frac{\angle BCD + \angle ADC}{2} = 90^\circ$$ то есть прямые $CO$ и $DO$ перпендикулярны.

Получаем: $$\angle AMO = 90^\circ -\angle ADM = 90^\circ -\angle KDO = \angle DKO$$

$б)$ Лучи $AO$ и $BO$ являются биссектрисами прямых углов $BAD$ и $ABC$ соответственно, поэтому треугольник $AOB$ равнобедренный прямоугольный. Значит, $\angle MAO = \angle CBO = 45^\circ,$ $AO = BO.$ Поскольку прямые $CO$ и $DO$ перпендикулярны, получаем: $$\angle BOC = 90^\circ -\angle BOM = \angle AOM$$ Следовательно, треугольники $AOM$ и $BOC$ равны и нужно найти площадь одного из них.

Пусть окружность касается сторон $AB,$ $BC,$ $CD$ и $AD$ в точках $E,$ $F,$ $G$ и $H$ соответственно, а ее радиус равен $r.$ Тогда: $$AH = AE = BE = BF = r; \quad CF = CG = 10 -r; \quad DH = DG = 15 -r$$

В прямоугольном треугольнике $COD$ имеем: $$OG^2 = CG \cdot DG; \quad r^2 = (10 -r)(15 -r)$$ откуда $r = 6.$ Значит, $S_{AOM} = S_{BOC} = \dfrac{BC \cdot OF}{2} = 30.$

Ответ:
$а)$ $\angle AMO = \angle DKO.$
$б)$ Площадь треугольника $AOM$ равна $30.$