17. Планиметрическая задача: #211339

$а)$ Из описанности трапеций следует, что $BM + AN = AB + MN$ и $MC + ND = CD + MN.$ Поскольку $BM = MC$ и $AN = ND,$ получаем, что $AB = CD.$

$б)$ Очевидно, при этих условиях отрезок $MN$ является высотой трапеции и имеет длину $6.$ Пусть $AN = t,$ тогда из описанности трапеции $ABMN$ следует $AB + 6 = t + 5,$ откуда $AB = t -1.$ Опуская высоту $BK,$ получим $BK^2 + KA^2 = BA^2,$ откуда $(t -5)^2 + 36 = (t -1)^2.$ Решая это уравнение, получаем $t = 7.5$ и $AB = 6.5.$

Обозначим $O$ центр окружности, вписанной в $ABMN,$ центр второй окружности — $O_1,$ их проекции на сторону $AB$ — за $T$ и $T_1$ соответственно, радиус второй окружности обозначим $r.$ Тогда $TOO_1T_1$ — трапеция, в которой $TO = 3,$ $T_1O_1 = r,$ $OO_1 = 3 + r.$

Опустим из $O$ перпендикуляры $OL$ и $OH$ на $BM$ и $MN$ соответственно. Тогда $OLMH$ — квадрат со стороной $3,$ поэтому $BL = BT = 5 -3 = 2,$ а $AT = 4.5.$ Из подобия треугольников $ATO$ и $AT_1O_1$ находим тогда, что $AT_1 = 1.5r$ и $TT_1 = 4.5 -1.5r.$

Теперь опустим перпендикуляр $O_1G$ на $OT.$ Тогда $OG = 3 -r,$ $O_1G = T_1T = 4.5 -1.5r,$ получаем уравнение: $$(4.5 -1.5r)^2 + (3 -r)^2 = (r + 3)^2 \Leftrightarrow (9 -3r)^2 + (6 -2r)^2 = (2r + 6)^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 3r^2 -34r + 27 = 0 \Leftrightarrow r = \frac{17 \pm \sqrt{208}}{3}$$ Из двух корней подходит только меньший, поскольку $r < 3.$

Ответ:
$а)$ Трапеция $ABCD$ равнобедренная.
$б)$ Радиус окружности равен $\dfrac{17 -\sqrt{208}}{3}.$