Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
18. Планиметрическая задача: #211329
Биссектриса угла $ADC$ параллелограмма $ABCD$ пересекает прямую $AB$ в точке $E.$ В треугольник $ADE$ вписана окружность, касающаяся стороны $AE$ в точке $K$ и стороны $AD$ в точке $T.$
$а)$ Докажите, что прямые $KT$ и $DE$ параллельны.
$б)$ Найдите угол $BAD,$ если известно, что $AD = 6$ и $KT = 3.$
$а)$ Прямые $AE$ и $CD$ параллельны, а $DE$ — биссектриса угла $ADC,$ поэтому $\angle AED = \angle CDE = \angle ADE.$ Значит, треугольник $ADE$ равнобедренный, $AD = AE.$ Отрезки $AK$ и $AT$ касательных, проведенных к окружности из точки $A,$ равны, значит, треугольник $ATK$ также равнобедренный, причем угол при вершине $A$ у этих треугольников общий. Поэтому $\angle ATK = \angle ADE.$ Следовательно, $KT \parallel DE.$
$б)$ Пусть окружность касается основания $DE$ равнобедренного треугольника $ADE$ в точке $M.$ Тогда $M$ — середина $DE.$ Обозначим $DM = x.$ Тогда $DT = DM = x,$ $AT = AD -DT = 6 -x.$
Треугольник $ATK$ подобен треугольнику $ADE,$ поэтому
$$\frac{AT}{AD} = \frac{TK}{DE}, \quad \text{или} \quad \frac{6-x}{6} = \frac{3}{2x}$$
Отсюда находим, что $x = 3.$ Тогда $DE = 2x = 6,$ значит, треугольник $ADE$ равносторонний. Следовательно, $\angle BAD = \angle EAD = 60^\circ.$
Ответ:
$а)$ Прямые $KT$ и $DE$ параллельны.
$б)$ Угол $BAD$ равен $60^\circ.$
20
