14. Стереометрическая задача: #210535

$а)$ Рассмотрим треугольник $ABD.$ Так как тетраэдр правильный, все его грани — равносторонние треугольники. В равностороннем треугольнике медиана является высотой, поэтому $DM \perp AB.$ Аналогично в треугольнике $ABC$ медиана $CM$ также перпендикулярна $AB.$ Таким образом, прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DM$ и $CM$ в плоскости $CMD,$ значит, $AB \perp$ плоскости $CMD.$ Поскольку $MN$ лежит в плоскости $CMD,$ то $AB \perp MN.$

Аналогично доказывается перпендикулярность $CD$ и $MN.$ В треугольнике $ACD$ медиана $AN$ перпендикулярна $CD,$ а в треугольнике $BCD$ медиана $BN$ перпендикулярна $CD.$ Следовательно, $CD$ перпендикулярна плоскости $ABN,$ содержащей $MN,$ поэтому $CD \perp MN.$

$б)$ Поскольку $BK = 1$ и $KC = 5,$ то длина ребра $BC = 6.$ Так как тетраэдр правильный, все его ребра равны $6.$

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна $MN$ и проходит через точку $K$ на ребре $BC.$ Построим сечение, проходящее через $K$ и параллельное ребрам $AB$ и $CD.$ Пусть эта плоскость пересекает $BD$ в точке $T,$ а $AD$ в точке $R.$ Тогда $KT \parallel CD$ и $KR \parallel AB.$

Из подобия треугольников $BKT$ и $BCD$ получаем:
$$\dfrac{KT}{CD} = \dfrac{BK}{BC} = \dfrac{1}{6}$$ откуда $KT = \dfrac{1}{6} \cdot 6 = 1.$

Из подобия треугольников $CKR$ и $CBA$:
$$\dfrac{KR}{AB} = \dfrac{CK}{CB} = \dfrac{5}{6}$$ откуда $KR = \dfrac{5}{6} \cdot 6 = 5.$

Так как $AB \perp CD,$ а $KR \parallel AB$ и $KT \parallel CD,$ то $KR \perp KT.$ Следовательно, сечение $KTR$ — прямоугольник с площадью $S = KR \cdot KT = 5 \cdot 1 = 5.$

Ответ:
$а)$ Прямая $MN$ перпендикулярна ребрам $AB$ и $CD.$
$б)$ Площадь сечения равна $5.$