Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #208040
Цилиндр массой $m = 1\,\text{кг}$ и радиусом $R = 20\,\text{см}$ находится в равновесии на шероховатой наклонной плоскости $($коэффициент трения $\mu = 0.5).$ К цилиндру прикреплена невесомая нить, параллельная плоскости и закрепленная на вертикальной стенке. Найдите предельный угол наклона плоскости $\alpha,$ при котором возможно равновесие цилиндра.
Обоснование.
Используем инерциальную систему отсчета.
Цилиндр — абсолютно твердое тело.
Условия равновесия: $\sum F = 0$ и $\sum M = 0.$
Моменты считаем относительно точки касания $A.$
Действующие силы:
- Сила тяжести $mg.$
- Сила реакции опоры $N.$
- Сила трения $F_{тр} = \mu N$ (в предельном случае).
- Сила натяжения нити $T.$
Моменты относительно точки $A$:
$$mg\sin\alpha \cdot R = T \cdot 2R \implies T = \frac{mg\sin\alpha}{2}$$
Проекции на оси:$$ T + F_{тр} = mg\sin\alpha $$ $$ N = mg\cos\alpha$$
Предельное условие.
Подставляем $F_{тр} = \mu N$ и $T$:
$$\frac{mg\sin\alpha}{2} + \mu mg\cos\alpha = mg\sin\alpha$$Упрощаем:
$$\mu\cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{2}$$ $$\tan\alpha = 2\mu = 1 \implies \alpha = 45^\circ$$
Ответ: $\alpha_{\text{пред}} = 45^\circ.$
20
