Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #208038
Тонкая однородная палочка длиной $l = 10\,\text{см}$ и массой $m = 0.9\,\text{г}$ поставлена в гладкий цилиндрический стакан радиусом $R = 4\,\text{см}.$ После заполнения стакана жидкостью $( \rho_{\text{ж}} = 0.75\rho_{\text{п}},$ высота жидкости $h = 4\,\text{см} )$ палочка находится в равновесии. Определите силу давления $F$ верхнего конца палочки на стенку стакана.
Геометрия системы.
Высота подъема конца палочки:
$$H = \sqrt{l^2- 4R^2} = \sqrt{10^2- 4\cdot4^2} = 6\,\text{см}$$
Угол наклона $\alpha$:
$$\sin\alpha = \frac{H}{l} = 0.6, \quad \cos\alpha = \frac{2R}{l} = 0.8$$
Сила Архимеда.
Объем погруженной части:
$$V_{\text{погр}} = \frac{h}{H}V = \frac{4}{6}V$$
Величина силы:
$$F_A = 0.75\rho_{\text{п}}gV_{\text{погр}} = 0.75mg\frac{h}{H}$$
Уравнение моментов (относительно нижнего конца):
$$mgR = F_A\cdot\frac{h}{2}\cdot\frac{2R}{H} + NH$$
Подставляя $F_A$:
$$mgR = 0.75mg\frac{h^2R}{H^2} + NH$$
Сила реакции $N$:
$$N = \frac{mgR}{H}\left(1- 0.75\frac{h^2}{H^2}\right)$$
Численно:
$$N = \frac{0.9\cdot10^{-3}\cdot10\cdot0.04}{0.06}\left(1- 0.75\left(\frac{4}{6}\right)^2\right) = 4\,\text{мН}$$
Ответ:
$$F = 4\,\text{мН}$$
20
