Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #208028
Однородный стержень длиной $L = 30\,\text{см}$ подвешен за два конца к вертикальным пружинам одинаковой длины. При подвешивании груза массой $m = 3\,\text{кг}$ на расстоянии $d = 5\,\text{см}$ от правой пружины стержень занимает горизонтальное положение, а удлинения обеих пружин становятся равными. Известно, что жесткость правой пружины в $2$ раза больше левой. Найдите массу стержня $M.$
Обоснование.
Используем инерциальную систему отсчета.
Стержень — абсолютно твердое тело.
Условия равновесия: $\sum F_y = 0$ и $\sum M = 0.$
Удлинения пружин одинаковы $( x_1 = x_2 = x ).$
Соотношение сил упругости:
$$F_1 = kx, \quad F_2 = 2kx$$
Уравнение моментов относительно центра стержня:
$$F_1\frac{L}{2} + mg\left(\frac{L}{2}-d\right) = F_2\frac{L}{2}$$ $$kx \cdot 15 + 3g \cdot 10 = 2kx \cdot 15$$ $$kx = \frac{30g}{15} = 2g$$
Уравнение моментов относительно правой пружины:
$$F_1L = Mg\frac{L}{2} + mgd$$ $$2g \cdot 30 = Mg \cdot 15 + 3g \cdot 5$$ $$60 = 15M + 15$$
Решение для массы стержня:
$$15M = 45 \implies M = 3\,\text{кг}$$
Ответ: $M = 3\,\text{кг}.$
20
