17. Планиметрическая задача: #197710

$а)$ Докажем перпендикулярность $BM$ и $CN$.

$1.$ Обозначим точки пересечения:
$E = AM \cap BC;$
$H = AM \cap DN;$
$F = BM \cap AD.$


$2.$ Так как $AH$ — биссектриса и высота в $\triangle AND$, то: $$AN = AD$$
$3.$ Из равенства треугольников $\triangle ANM \cong \triangle ADM$ следует: $$NM = MD = CM$$
$4.$ Треугольник $CND$ прямоугольный ($\angle CND = 90^\circ$), поэтому: $$CN \parallel AM$$
$5.$ Из параллельности следует: $$AN : NB = CE : BC = 7 : 1 \Rightarrow CE = AD = 7BC$$
$6.$ Аналогично: $$BC = DF \Rightarrow AN : NB = AD : DF = 7 : 1$$

$7.$ Следовательно: $$DN \parallel BF \Rightarrow CN \perp BM$$

$б)$ Найдем длину $MN$.

$1.$ Пусть $AD = 7x$, $BC = x$ $($из отношения $7:1),$ тогда: $$AB = CD = 8x$$ $$NM = 4x$$
$2.$ Найдем высоту трапеции $h$: $$h^2 = (8x)^2-\left(\frac{7x-x}{2}\right)^2 = 64x^2-9x^2 = 55x^2$$ $$h = x\sqrt{55}$$
$3.$ Площадь трапеции: $$S = \frac{7x + x}{2} \cdot x\sqrt{55} = 4x^2\sqrt{55} = 4\sqrt{55}$$Откуда $x = 1$
$4.$ Искомая длина: $$MN = 4x = 4$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что прямые $BM$ и $CN$ перпендикулярны, так как $CN \parallel AM,$ а $DN \parallel BF,$ где $BF$ содержит $BM.$

$б)$ Длина отрезка $MN$ равна $4,$ что получено через анализ геометрических соотношений в трапеции и вычисление ее высоты.