ЕГЭ Математика (профильный уровень)17. Планиметрическая задача Четырехугольники и их свойства

17. Планиметрическая задача: #197706

Задание #197706

Задание было решено верно

Задание было решено неверно

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ $(AD = 2BC)$ диагонали пересекаются в точке $O.$ Через вершину $A$ проведена прямая, параллельная $BD,$ а через вершину $D$ — прямая, параллельная $AC,$ пересекающиеся в точке $E.$

$а)$ Доказать, что $BO : AE = 1 : 2.$

$б)$ Найти длину отрезка $MN,$ где $M$ и $N$ — точки пересечения прямых $BE$ и $CE$ со стороной $AD,$ если $AD = 10.$

$а)$ Докажем соотношение $BO : AE = 1 : 2$.

$1.$ Из подобия треугольников $BOC$ и $DOA{:}$ $$\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{2}$$
$2.$ По построению: $$AE \parallel DO \quad \text{и} \quad ED \parallel AO$$ Следовательно, $AODE$-параллелограмм, поэтому: $$AE = DO$$ $3.$ Таким образом: $$BO : AE = BO : DO = 1 : 2$$

$б)$ Найдем длину отрезка $MN$.

$1.$ Рассмотрим подобие треугольников: $$\triangle AME \sim \triangle DMB \Rightarrow \frac{AM}{MD} = \frac{AE}{BD} = \frac{2}{3}$$ (так как $BD = BO + OD = 1 + 2 = 3$ частям, а $AE = DO = 2$ частям)

$2.$ Вычислим $AM$: $$\frac{AM}{AD-AM} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3AM = 2AD-2AM \Rightarrow AM = \frac{2}{5}AD = 4$$
$3.$ Аналогично для $\triangle DNE \sim \triangle ANC$:
$$\frac{DN}{AN} = \frac{DE}{AC} = \frac{2}{3} \Rightarrow DN = \frac{2}{5}AD = 4$$
$4.$ Находим $MN$: $$MN = AD-AM-DN = 10-4-4 = 2$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что отношение $BO : AE$ равно $1 : 2,$ так как $AODE$ — параллелограмм и $BO : DO = 1 : 2$ из подобия треугольников.

$б)$ Длина отрезка $MN$ равна $2,$ что получено через анализ подобных треугольников и пропорциональных отношений частей основания $AD.$

Показать