17. Планиметрическая задача: #197705

$а)$ Докажем равенство $AL \cdot BC = AB \cdot AC$.

$1.$ Обозначим $\angle CAD = \alpha$, тогда $\angle BAC = 2\alpha.$

$2.$ Биссектриса $AL$ делит $\angle BAC$ на два угла по $\alpha{:}$ $$\angle BAL = \angle LAC = \alpha$$
$3.$ Площадь параллелограмма можно выразить двумя способами: $$S = AB \cdot AC \cdot \sin(2\alpha)$$ $$S = 2S_{ALC} = AL \cdot BC \cdot \sin(2\alpha)$$ $4.$ Приравнивая выражения, получаем: $$AB \cdot AC = AL \cdot BC$$

$б)$ Найдем длину отрезка $EL$.

$1.$ Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма ($AO = \dfrac{AC}{2} = 4$).
$2.$ Из условия $\tg \angle BCA = \dfrac{1}{2}$ находим: $$\tg \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2})^2} = \frac{4}{3}$$
$3.$ Найдем отрезки: $$LO = AO \cdot \tg \alpha = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$ $$EO = AO \cdot \tg 2\alpha = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$$
$4.$ Так как $EL$ проходит через $O$, то: $$EL = LO + EO = 2 + \frac{16}{3} = \frac{22}{3}$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что $AL \cdot BC = AB \cdot AC,$ так как площади параллелограмма, выраженные через разные параметры, равны.

$б)$ Длина отрезка $EL$ равна $\dfrac{22}{3},$ что получено через вычисление составляющих отрезков $LO$ и $EO$ с использованием тригонометрических соотношений.