17. Планиметрическая задача: #197704

$а)$ Докажем, что $\angle AOE = 90^\circ$.

$1.$ Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $AEC$ (как точка пересечения серединных перпендикуляров к двум его сторонам).
$2.$ По свойству центрального угла: $$\angle AOE = 2\angle ACE$$ $3.$ В квадрате $ABCD{:}$ $$\angle ACE = 45^\circ \Rightarrow \angle AOE = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$$

$б)$ Найдем отношение $BO : OD.$

$1.$ Диагональ $BD$ квадрата является серединным перпендикуляром к диагонали $AC,$ поэтому точка $O$ лежит на $BD.$
$2.$ Пусть сторона квадрата равна $2a,$ тогда: $$BE = EC = a$$ $$BD = 2a\sqrt{2}$$
$3.$ Рассмотрим точку $M$ — середину $EC$ ($EM = MC = \dfrac{a}{2}).$

$4.$ Прямоугольные треугольники $BMO$ и $BCD$ подобны по двум углам: $$\angle BMO = \angle BCD = 90^\circ$$ $$\angle MBO = \angle DBC$$ $5.$ Из подобия: $$\frac{BO}{BD} = \frac{BM}{BC} = \frac{a + \frac{a}{2}}{2a} = \frac{3}{4}$$
$6.$ Таким образом:
$$BO = \frac{3}{4}BD$$ $$OD = BD-BO = \frac{1}{4}BD$$ $$BO : OD = 3 : 1$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что угол $\angle AOE$ равен $90^\circ$, так как точка $O$ является центром описанной окружности треугольника $AEC$, а центральный угол $\angle AOE$ вдвое больше вписанного угла $\angle ACE.$

$б)$ Отношение $BO : OD$ равно $3:1,$ что следует из подобия треугольников $BMO$ и $BCD$ и свойств квадрата.