17. Планиметрическая задача: #197700

$а)$ Докажем перпендикулярность диагоналей $AC$ и $BD$.

$1.$ Проведем через точку $C$ прямую, параллельную $BD,$ и отметим точку $C_1$ на пересечении с продолжением $AD$: $$CC_1 \parallel BD \Rightarrow BCC_1D \text{ — параллелограмм}$$
$2.$ В полученном треугольнике $ACC_1{:}$ $$AC = 15, \quad CC_1 = BD = 8$$ $$AC_1 = AD + DC_1 = AD + BC = 17$$ $3.$ Проверим соотношение сторон: $$AC^2 + CC_1^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$$ $$AC_1^2 = 17^2 = 289$$ $4.$ По обратной теореме Пифагора: $$\angle ACC_1 = 90^\circ$$
$5.$ Так как $CC_1 \parallel BD,$ то: $$\angle COD = \angle ACC_1 = 90^\circ$$ где $O$ — точка пересечения диагоналей.

$б)$ Найдем площадь трапеции.

$1.$ Для трапеции с перпендикулярными диагоналями площадь вычисляется по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$ $2.$ Подставляем значения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 60$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что диагонали $AC$ и $BD$ трапеции перпендикулярны, так как при построении параллелограмма $BCC_1D$ треугольник $ACC_1$ оказался прямоугольным.

$б)$ Площадь трапеции равна $60,$ что получено по формуле площади для трапеции с перпендикулярными диагоналями.