17. Планиметрическая задача: #197698

$а)$ Докажем равенство отрезков $CO$ и $KO$.

$1.$ Продолжим прямые $BC$ и $AE$ до пересечения в точке $L$.

$2.$ Докажем равенство треугольников:
$\triangle AED = \triangle LEC \text{ по:}$
$DE = CE$ (по условию).
$\angle AED = \angle LEC$ (вертикальные).
$\angle ADE = \angle LCE$ $($накрест лежащие при $AD \parallel BC).$
$3.$ Из равенства треугольников следует: $$AE = EL$$ $$AD = LC$$
$4.$ Четырехугольник $KCLA$ — трапеция $(CK \parallel AL$ по условию).

$5.$ Применим свойство трапеции:

Прямая $BE$ проходит через точку пересечения боковых сторон $(B).$
И через середину основания $AL$ $(E).$
Следовательно, проходит через середину основания $KC$ $(O).$


$6.$ Таким образом:
$$CO = KO$$

$б)$ Найдем отношение $\dfrac{BC}{AD}.$

$1.$ Из равенства треугольников $(\triangle AED = \triangle LEC)$:
$$S_{ABCD} = S_{ABL}$$
$2.$ Из подобия треугольников $\triangle KBC\space и \space \triangle ABL$:
$$\frac{S_{KBC}}{S_{ABL}} = \left(\frac{BC}{BL}\right)^2 = \frac{9}{100}$$
$3.$ Находим коэффициент подобия: $$\frac{BC}{BL} = \frac{3}{10}$$
$4.$ Выразим $BL$ через $BC$ и $CL$: $$\frac{BC}{BC + CL} = \frac{3}{10}$$
$5.$ Решаем уравнение: $$10BC = 3BC + 3CL$$ $$7BC = 3CL$$ $$\frac{BC}{CL} = \frac{3}{7}$$
$6.$ Так как $CL = AD$ (из равенства треугольников), получаем: $$\frac{BC}{AD} = \frac{3}{7}$$

Ответ:
$а)$ Отрезки $CO$ и $KO$ равны.

$б)$ Отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$ равно $3:7.$