17. Планиметрическая задача: #197694

$а)$ Докажем равенство площадей $S_{AMOE}$ и $S_{COD}.$

$1.$ Обозначим высоту трапеции через $h.$

$2.$ Найдем площади:
$$S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{2} \cdot AD = \frac{h \cdot AD}{4}$$ $$S_{CED} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{AD}{2} = \frac{h \cdot AD}{4}$$
$3.$ Заметим, что: $$S_{AMD} = S_{AMOE} + S_{MOD}$$ $$S_{CED} = S_{COD} + S_{MOD}$$
$4.$ Так как $S_{AMD} = S_{CED},$ то: $$S_{AMOE} = S_{COD}$$

$б)$ Найдем долю площади $AMOE$ от площади трапеции.

$1.$ Проведем прямую $MD$ до пересечения с продолжением $BC$ в точке $K.$

$2.$ Докажем, что $\triangle AMD \cong \triangle BMK{:}$
$\angle MAD = \angle KBM$ (накрест лежащие).
$\angle AMD = \angle BMK$ (вертикальные).
$AM = BM$ (по условию).
Следовательно, $BK = AD = 4.$

$3.$ Рассмотрим подобные треугольники $DOE$ и $KOC{:}$
$$\frac{OE}{OC} = \frac{ED}{CK} = \frac{2}{7}$$
$4.$ Найдем площади:
$$S_{ABCD} = \frac{(3+4)}{2} \cdot h = \frac{7h}{2}$$ $$S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h = h$$ $$S_{COD} = \frac{7}{9}S_{CDE} = \frac{7h}{9}$$ $$S_{AMOE} = S_{COD} = \frac{7h}{9}$$
$5.$ Искомая доля: $$\frac{S_{AMOE}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{7h}{9}}{\frac{7h}{2}} = \frac{2}{9}$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что площади четырехугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.

$б)$ Площадь четырехугольника $AMOE$ составляет $\dfrac{2}{9}$ от площади трапеции $ABCD.$