17. Планиметрическая задача: #197688

$а)$ Докажем равенство углов $\angle ABC$ и $\angle ACD$.

$1.$ По условию треугольники $ABC$ и $DCA$ подобны.
$2.$ Углы при параллельных основаниях равны:
$$\angle ACB = \angle CAD \quad \text{(как накрест лежащие)}$$
$3.$ Если предположить, что $\angle BAC = \angle ACD$, то $AB \parallel CD$ и $ABCD$ — параллелограмм, что противоречит условию $AD > BC$.
$4.$ Следовательно, в силу подобия:
$$\angle ABC = \angle ACD$$

$б)$ Найдем расстояние между серединами оснований.

$1.$ Из подобия треугольников $ABC$ и $DCA$: $$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD} \Rightarrow AC = \sqrt{BC \cdot AD} = \sqrt{18 \cdot 50} = 30$$
$2.$ Найдем высоту трапеции: $$CK = AC \cdot \sin \angle CAD = 30 \cdot \frac{4}{5} = 24 \quad \text{(так как $\sin \angle CAD = \sqrt{1-(\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$)}$$ $3.$ Построим перпендикуляр $MH$ из середины $M$ меньшего основания $BC$ на большее основание $AD$: $$AH = BM = \frac{BC}{2} = 9$$ $$AN = \frac{AD}{2} = 25$$ $$NH = AN — AH = 25-9 = 16$$ $4.$ В прямоугольном треугольнике $MNH$: $$MN = \sqrt{MH^2 + NH^2} = \sqrt{24^2 + 16^2} = \sqrt{576 + 256} = \sqrt{832} = 8\sqrt{13}$$

Ответ:
$а)$ Углы $\angle ABC$ и $\angle ACD$ равны.

$б)$ Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции равен $8\sqrt{13}$.