17. Планиметрическая задача: #197685

$а)$ Докажем, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

$1.$ Так как $CC_1$ — высота, то $\angle AC_1C = 90^\circ$.
$2.$ Точки $A,$ $A_1,$ $C,$ $C_1$ лежат на одной окружности, поэтому $\angle AA_1C = \angle AC_1C = 90^\circ$ $($опираются на одну дугу $AC).$
$3.$ Медиана $AA_1$ является одновременно и высотой, следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB = AC$.

$б)$ Найдем площадь треугольника $ABC.$

$1.$ Из подобия треугольников $ABA_1$ и $CBC_1$ следует:
$$\frac{AB}{CB} = \frac{AA_1}{CC_1} = \frac{5}{4}$$
$2.$ В прямоугольном треугольнике $BCC_1$ медиана $C_1A_1$ равна половине гипотенузы:
$$C_1A_1 = \frac{1}{2}BC \Rightarrow BC = 8$$
$3.$ Находим $AB{:}$
$$AB = \frac{5}{4} \cdot BC = 10$$
$4.$ Так как $AB = AC = 10$, то в прямоугольном треугольнике $ACA_1{:}$
$$AA_1 = \sqrt{AC^2-A_1C^2} = \sqrt{100-16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$$
$5.$ Площадь треугольника $ABC{:}$
$$S = \frac{AA_1 \cdot BC}{2} = \frac{2\sqrt{21} \cdot 8}{2} = 8\sqrt{21}$$

Ответ:
$а)$ Треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB = AC.$

$б)$ Площадь треугольника $ABC$ равна $8\sqrt{21}.$