17. Планиметрическая задача: #197684

$а)$ Докажем, что $ADA_1B_1$ — параллелограмм.

$1.$ Проведем через точку $B$ прямую, параллельную $AC$, и отметим точку $T$ ее пересечения с $CC_1$.

$2.$ Треугольники $ACC_1$ и $BTC_1$ подобны (по двум углам), поэтому:
$$\frac{BT}{AC} = \frac{BC_1}{BA_1} = \frac{10}{21} \Rightarrow BT = \frac{10}{21}AC$$
$3.$ Треугольники $B_1CD$ и $BTD$ подобны, следовательно:
$$\frac{BD}{DB_1} = \frac{BT}{CB_1} = \frac{\frac{10}{21}AC}{\frac{5}{7}AC} = \frac{2}{3} = \frac{BA_1}{A_1C}$$
$4.$ Из равенства отношений следует, что $A_1D \parallel AC$.
$5.$ Из подобия треугольников $DBA_1$ и $B_1BC$ получаем:
$$DA_1 = \frac{BA_1}{BC} \cdot B_1C = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}AB_1 = AB_1$$
Таким образом, в четырехугольнике $ADA_1B_1$ противоположные стороны равны и параллельны, значит, это параллелограмм.

$б)$ Найдем длину отрезка $CD$.
$1.$ Пусть $AD \perp BC$, их точка пересечения — $H$.
$2.$ Из условия $AB_1 : B_1C = 2 : 5$ и $AC = 63{:}$ $$AB_1 = \frac{2}{7}AC = 18$$
$3.$ Так как $ADA_1B_1$ — параллелограмм, то: $$A_1D = AB_1 = 18$$
$4.$ Находим $A_1H$: $$A_1H = \frac{AB_1}{B_1C} \cdot A_1C = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6$$
$5.$ В прямоугольном треугольнике $DHA_1{:}$ $$DH = \sqrt{A_1D^2-A_1H^2} = \sqrt{324-36} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$$
$6.$ Находим $HC{:}$ $$HC = A_1H + A_1C = 6 + 15 = 21$$
$7.$ В прямоугольном треугольнике $CDH{:}$ $$CD = \sqrt{DH^2 + HC^2} = \sqrt{288 + 441} = \sqrt{729} = 27$$

Ответ:
$а)$ Четырехугольник $ADA_1B_1$ является параллелограммом.

$б)$ $CD = 27$.