17. Планиметрическая задача: #197682

$а)$ Докажем, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Так как точки $A,$ $A_1,$ $C,$ $C_1$ лежат на одной окружности, то вписанные углы $AC_1C$ и $AA_1C$ опираются на одну дугу $AC$ и равны. Следовательно:

$$\angle AA_1C = \angle AC_1C = 90^\circ$$

Это означает, что медиана $AA_1$ является одновременно и высотой. В треугольнике, где медиана совпадает с высотой, треугольник равнобедренный. Поэтому:

$$AB = AC$$

$б)$ Найдем площадь треугольника $ABC$.

$1.$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$. Медиана $C_1A_1$ равна половине гипотенузы $BC$: $$C_1A_1 = \frac{BC}{2} \Rightarrow BC = 2 \cdot A_1C_1 = 4$$

$2.$ Треугольники $ABA_1$ и $CBC_1$ подобны по двум углам (у них общий угол $B$ и прямые углы). Из подобия следует: $$\frac{AB}{BC} = \frac{AA_1}{CC_1} = \frac{3}{2}$$

$3.$ Находим стороны $AB$ и $AC$: $$AB = \frac{3}{2} \cdot BC = 6$$ $$AC = AB = 6$$
$4.$ В прямоугольном треугольнике $ACA_1$ находим $AA_1$ по теореме Пифагора: $$AA_1 = \sqrt{AC^2-A_1C^2} = \sqrt{36-4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$
$5.$ Площадь треугольника $ABC$:

$$S = \frac{AA_1 \cdot BC}{2} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 4}{2} = 8\sqrt{2}$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

$б)$ Площадь треугольника $ABC$ равна $8\sqrt{2}.$