ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
17. Планиметрическая задача: #197681
В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC,$ а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C,$ причем $CM = BC$ и $CN = AC.$ Отрезки $CP$ и $CQ$ — биссектрисы треугольников $ACB$ и $NCM$ соответственно.
$а)$ Докажите, что $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.
$б)$ Найдите $PQ,$ если $BC = 3,$ а $AC = 5.$
$а)$ Рассмотрим углы:
Так как $CP$ — биссектриса прямого угла $ACB$, то $\angle ACP = 45^\circ$
$CQ$ — биссектриса угла $NCM$, который равен $45^\circ$ (так как $CM = BC$ и $CN = AC$ создают конгруэнтный треугольник)
Следовательно, $\angle MCQ = 22.5^\circ$ и $\angle QCP = \angle ACP + \angle MCQ = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$
Таким образом, $CP \perp CQ$. Что и требовалось доказать.
$б)$ Вычислим длины:
Найдем $CP$ как биссектрису треугольника $ABC$:
$$CP = \frac{2 \cdot AC \cdot BC}{AC + BC} \cdot \cos 45^\circ = \frac{2 \cdot 5 \cdot 3}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{8}$$
Аналогично найдем $CQ$ как биссектрису треугольника $NCM$:$$CQ = \frac{15\sqrt{2}}{8}$$
Так как треугольник $PCQ$ прямоугольный и равнобедренный $(CP = CQ),$ то: $$PQ = CP \cdot \sqrt{2} = \frac{15\sqrt{2}}{8} \cdot \sqrt{2} = \frac{15 \cdot 2}{8} = \frac{15}{4}$$
Ответ:
$а)$ Прямые $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.
$б)$ Длина отрезка $PQ$ равна $\dfrac{15}{4}$.
20
