ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
17. Планиметрическая задача: #197680
На катетах $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ вне треугольника построены квадраты $ACDE$ и $BFKC.$ Точка $M$ — середина гипотенузы $AB,$ $H$ — точка пересечения прямых $CM$ и $DK.$
$а)$ Докажите, что $CM \perp DK.$
$б)$ Найдите $MH,$ если известно, что катеты треугольника $ABC$ равны $130$ и $312.$
$а)$ Рассмотрим следующие факты:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ медиана $CM$ к гипотенузе равна половине гипотенузы: $CM = AM = MB$.
Углы при основании равнобедренного треугольника $CMB$: $\angle MBC = \angle MCB$.
Треугольники $DCK$ и $ACB$ равны по двум сторонам и углу между ними ($DC = AC,$ $KC = CB,$ $\angle DCK = \angle ACB = 90^\circ).$
Следовательно, $\angle CDK = \angle CAB.$
Из равенства углов $\angle DCH = \angle CBA$ (вертикальные) и $\angle CDH = \angle CAB$ следует подобие треугольников $DCH$ и $ABC$. Поэтому $\angle DHC = 90^\circ$, что означает $CM \perp DK$. Что и требовалось доказать.
$б)$ Вычислим необходимые величины:
Гипотенуза $AB = \sqrt{130^2 + 312^2} = 338.$
Медиана $CM = \dfrac{AB}{2} = 169.$
Из подобия треугольников и свойств квадратов получаем:
$$DC^2 = DK \cdot DH \Rightarrow 130^2 = DK \cdot DH$$ $$HK = DK-DH = 288 \quad \text{(из пропорций)}$$ Высота $CH = \sqrt{DH \cdot HK} = \sqrt{50 \cdot 288} = 120.$
Искомое расстояние $MH = CM + CH = 169 + 120 = 289.$
Ответ:
$а)$ Прямые $CM$ и $DK$ перпендикулярны.
$б)$ Длина отрезка $MH$ равна $289.$
20
