17. Планиметрическая задача: #197679

$а)$ Применим теорему Менелая для треугольников и трансверсалей:
$$\frac{CB}{BK} \cdot \frac{KO}{OA} \cdot \frac{AB_1}{B_1C} = 1 \quad \text{и} \quad \frac{BC}{CK} \cdot \frac{KO}{OA} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1$$
По условию $\dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AB_1}{B_1C},$ следовательно:
$$\frac{CB}{BK} = \frac{BC}{CK} \Leftrightarrow CK = BK$$
Таким образом, точка $K$ — середина $BC,$ что и требовалось доказать.

$б)$ При заданном отношении $1:4$ применим теорему Менелая: $$\frac{AB}{AC_1} \cdot \frac{C_1O}{OC} \cdot \frac{CK}{KB} = 1 \Rightarrow \frac{5}{1} \cdot \frac{C_1O}{OC} \cdot 1 = 1 \Rightarrow \frac{C_1O}{OC} = \frac{1}{5}$$ Аналогично: $$\frac{CA}{AB_1} \cdot \frac{B_1O}{OB} \cdot \frac{BK}{KC} = 1 \Rightarrow \frac{5}{1} \cdot \frac{B_1O}{OB} \cdot 1 = 1 \Rightarrow \frac{B_1O}{OB} = \frac{1}{5}$$
Рассмотрим отношения площадей:$$\frac{S_{AB_1B}}{S_{BCB_1}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{S_{AB_1B}}{S_{ABC}} = \frac{1}{5}$$ $$\frac{S_{CAC_1}}{S_{ABC}} = \frac{1}{5}$$
Для треугольников с общей вершиной $O$:
$$\frac{S_{AC_1O}}{S_{AC_1C}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{S_{AC_1O}}{S_{ABC}} = \frac{1}{30}$$ $$\frac{S_{AB_1O}}{S_{ABC}} = \frac{1}{30}$$ Итоговое отношение площадей: $$\frac{S_{AB_1OC_1}}{S_{ABC}} = \frac{1}{15}$$

Ответ:
$а)$ Прямая $AO$ делит сторону $BC$ пополам.
$б)$ Отношение площадей равно $1:15.$