17. Планиметрическая задача: #197678

$а)$ Из условия параллельности прямых $BD \parallel AM$ следует:
$$\angle BAM = \angle ABD \quad \text{и} \quad \angle MAC = \angle ADB$$ Треугольник $BAD$ равнобедренный $(AD = AB = 24)$, поэтому:$$\angle ADB = \angle ABD$$ Следовательно:$$\angle BAM = \angle MAC$$ Таким образом, $AM$ является биссектрисой угла $BAC$. Что и требовалось доказать.

$б)$ Проверим тип треугольника:
$$AB^2 + BC^2 = 24^2 + 18^2 = 900 = 30^2 = AC^2$$
Значит, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.

Найдем отрезки на стороне $BC$ по свойству биссектрисы:$$\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5} \Rightarrow BM = 8, \quad MC = 10$$

Площадь треугольника $AMC$:
$$S_{AMC} = \frac{AB \cdot MC}{2} = \frac{24 \cdot 10}{2} = 120$$

Рассмотрим подобие треугольников:
$$\triangle MAC \sim \triangle DBC \quad \text{с коэффициентом} \quad k = \frac{BC}{MC} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$$
Площадь треугольника $DBC$:
$$S_{DBC} = \left(\frac{9}{5}\right)^2 \cdot S_{AMC} = \frac{81}{25} \cdot 120 = 388.8$$

Искомая площадь четырехугольника $AMBD$:
$$S_{AMBD} = S_{DBC}-S_{AMC} = 388.8-120 = 268.8$$

Ответ:
$а)$ $AM$ является биссектрисой треугольника $ABC.$
$б)$ Площадь четырехугольника $AMBD$ равна $268.8.$