17. Планиметрическая задача: #197675

$а)$ Пусть угол $BAC = \alpha.$ Углы $BAC$ и $KHB$ равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим четырехугольник $BKHM{:}$ в нем $\angle BKH + \angle BMH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ,$ следовательно, четырехугольник $BKHM$ вписан в окружность. Значит, углы $KHB$ и $KMB$ — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Таким образом, $\angle BAC = \angle KHB = \angle KMB.$ Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол $B,$ а $\angle BAC = \angle KMB,$ значит, эти треугольники подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

$б)$ Сумма углов $K$ и $M$ четырехугольника $BKHM$ равна $180^\circ,$ поэтому он вписан в окружность. Прямоугольный треугольник $BKH$ вписан в эту же окружность, а потому радиус $r$ окружности равен половине гипотенузы $BH{:}$ $r = 1.$ Треугольник $MBK$ также вписан в эту окружность. Коэффициент подобия треугольников $ABC$ и $MBK$ равен отношению их радиусов описанных окружностей: $k = \dfrac{R}{r} = \dfrac{4}{1} = 4.$ Тогда для отношения площади треугольника $MBK$ к площади четырехугольника $AKMC$ получаем:
$$\frac{S_{MBK}}{S_{AKMC}} = \frac{S_{MBK}}{S_{ABC}-S_{MBK}} = \frac{S_{MBK}}{k^2 S_{MBK}-S_{MBK}} = \frac{1}{k^2-1} = \frac{1}{16-1} = \frac{1}{15}$$

Ответ:
$а)$ Треугольники $MBK$ и $ABC$ подобны по двум углам.
$б)$ Отношение площадей равно $\dfrac{1}{15}.$