ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
17. Планиметрическая задача: #197674
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с углом $120^\circ$ при вершине $A$ проведена биссектриса $BD.$ В треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $DEFH$ так, что сторона $FH$ лежит на отрезке $BC,$ а вершина $E$ — на отрезке $AB$.
$а)$ Докажите, что $FH = 2DH.$
$б)$ Найдите площадь прямоугольника $DEFH,$ если $AB = 4.$
$а)$ Пусть $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AB$, тогда $DH = DP.$
В равнобедренном треугольнике $EAD$ угол $AED$ равен $30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $EPD$ находим $DP = \dfrac{1}{2} DE,$ откуда получаем, что $FH = 2DH.$ Что и требовалось доказать.
$б)$ Пусть $AM$ — высота треугольника $ABC$ — пересекает $ED$ в точке $N$. Тогда:
$$AM = AB \cdot \sin \angle ABC = 2, \quad BC = 2AB \cdot \cos \angle ABC = 4\sqrt{3}$$
Пусть $DH = EF = x$, тогда $FH = ED = 2x$. Треугольники $ABC$ и $AED$ подобны, следовательно:
$$\frac{AN}{AM} = \frac{ED}{BC} \Leftrightarrow \frac{2-x}{2} = \frac{2x}{4\sqrt{3}} \Leftrightarrow x = \frac{2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = 3-\sqrt{3}.$$
Таким образом, площадь прямоугольника $DEFH$ равна:
$$S = DE \cdot DH = 2x \cdot x = 2\cdot(3-\sqrt{3})^2 = 2\cdot(9-6\sqrt{3} + 3) = 24-12\sqrt{3}.$$
Ответ:
$а)$ Доказано, что $FH = 2DH.$
$б)$ Площадь прямоугольника $DEFH$ равна $24-12\sqrt{3}.$
20
