ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Главная
Занятия
Куратор
Подписка
14. Стереометрическая задача: #195707
На ребре $A_1A$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечена точка $E$ так, что $A_1E : EA = 3 : 2,$ точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. Длины ребер $AD$ и $AA_1$ равны $6$ и $10$ соответственно.
$а)$ Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью $ETD_1$ является равнобедренной трапецией.
$б)$ Найдите площадь сечения параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $ETD_1,$ если $AB = 2\sqrt{10}$.
Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1.$
Точка $E$ на $A_1A$: $A_1E : EA = 3 : 2.$
$T$ — середина $B_1C_1.$
Длины: $AD = 6$, $AA_1 = 10$, $AB = 2\sqrt{10}.$
$а)$ Доказательство, что сечение $ETD_1$ — равнобедренная трапеция:
$1.$ Построение:
Продлим $D_1T$ до $K$ на $A_1B_1.$
Проведем $EK$ → точка $F$ на $BB_1.$
Сечение — $EFTD_1.$
$2.$ Параллельность:
$FT \parallel ED_1$ (через параллельные плоскости).
Значит, $EFTD_1$ — трапеция.
$3.$ Равные стороны:
$\triangle D_1C_1T = \triangle KB_1T$ → $KB_1 = 2\sqrt{10}.$
$B_1F = 3$ (средняя линия).
Из равенства треугольников: $EF = TD_1 = 7.$
$б)$ Площадь сечения:
$1.$ Длины: $$EF = TD_1 = 7$$ $$ED_1 = 6\sqrt{2}$$ $$FT = 3\sqrt{2}.$$
$2.$ Высота:$$h = \sqrt{7^2-(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{89}{2}}.$$ $3.$ Площадь:$$S = \frac{6\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{89}{2}} = \frac{9\sqrt{89}}{2}.$$
Ответ:
$а)$ Сечение $EFTD_1$ — равнобедренная трапеция.
$б)$ Площадь сечения: $\dfrac{9\sqrt{89}}{2}.$
20