14. Стереометрическая задача: #195698

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с параметрами:
Ребра: $AB = 8,$ $AD = 7,$ $AA_1 = 5.$
Точка $W \in DD_1$: $DW : WD_1 = 1 : 4.$

$а)$ Доказательство, что сечение — параллелограмм.

$1.$ Построим сечение плоскостью $(CA_1W)$:
Проведем $CT \parallel A_1W$ ($T \in BB_1).$
Соединим точки $A_1$ и $T.$

$2.$ Свойства сечения:
$CT \parallel A_1W$ (по построению).
$A_1T \parallel CW$ (как линии пересечения параллельных плоскостей).
Следовательно, $CTA_1W$ — параллелограмм.

$б)$ Нахождение площади сечения.

$1.$ Вычислим длины отрезков:
$D_1W = \dfrac{4}{5}DD_1 = 4.$
$DW = 1.$
$BT = D_1W = 4$ (из равенства треугольников).

$2.$ Найдем стороны параллелограмма:
$$CT = \sqrt{BC^2 + BT^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{65}$$ $$CW = \sqrt{CD^2 + DW^2} = \sqrt{8^2 + 1^2} = \sqrt{65}$$
$3.$ Вычислим диагонали:
$$CA_1 = \sqrt{7^2 + 8^2 + 5^2} = \sqrt{138}$$ $$WT = 2\sqrt{CT^2-\left(\frac{CA_1}{2}\right)^2} = 2\sqrt{65-34.5} = \sqrt{122}$$ $4.$ Площадь сечения:
$$S = \frac{CA_1 \cdot WT}{2} = \frac{\sqrt{138} \cdot \sqrt{122}}{2} = \frac{\sqrt{16\space836}}{2} = \sqrt{4\space209}$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что сечение $CTA_1W$ — параллелограмм.
$б)$ Площадь сечения равна $\sqrt{4\space209}.$