14. Стереометрическая задача: #195693

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ с параметрами:
Сторона основания $AB = 2.$
Точка $M$ — середина ребра $CC_1.$
Площадь сечения $A_1MB$ равна $6.$

$1.$ Рассмотрим треугольники:

$\triangle A_1C_1M$ и $\triangle BCM.$
$A_1C_1 = BC$ (как стороны правильного треугольника)
$C_1M = CM$ $($так как $M$ — середина $CC_1).$

$2.$ Треугольники равны по двум катетам:
$$\angle A_1C_1M = \angle BCM = 90^\circ.$$ $$A_1C_1 = BC.$$ $$C_1M = CM.$$ $3.$ Следовательно, $A_1M = BM,$ что означает равнобедренность $\triangle A_1MB.$

$б)$ Нахождение высоты призмы.

$1.$ Обозначим половину высоты призмы через $x,$ тогда $AA_1 = 2x$.

$2.$ Вычислим длины сторон:
$$A_1M = BM = \sqrt{x^2 + 4}$$ $$A_1B = \sqrt{(2x)^2 + 2^2} = \sqrt{4x^2 + 4} = 2\sqrt{x^2 + 1}$$ $3.$ Найдем высоту треугольника $A_1MB$:
$$MH = \sqrt{A_1M^2-\left(\frac{A_1B}{2}\right)^2} = \sqrt{x^2 + 4-(x^2 + 1)} = \sqrt{3}$$ $4.$ Из площади сечения:
$$6 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{x^2 + 1} \Rightarrow \sqrt{3(x^2 + 1)} = 6$$ $$3(x^2 + 1) = 36 \Rightarrow x^2 = 11 \Rightarrow x = \sqrt{11}$$ $5.$ Высота призмы:
$$AA_1 = 2x = 2\sqrt{11}$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что треугольник $A_1MB$ равнобедренный.
$б)$ Высота призмы равна $2\sqrt{11}.$