ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Главная
Занятия
Куратор
Подписка
14. Стереометрическая задача: #195692
В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B1$ и $D,$ пересекает стороны $AA_1$ и $CC_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно, а сечение призмы плоскостью $\alpha$ является ромбом.
$а)$ Докажите, что точка $M$ — середина ребра $AA_1.$
$б)$ Найдите высоту призмы, если площадь основания равна $3,$ а площадь сечения равна$ 6.$
Правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с параметрами:
Площадь основания $S_{осн} = 3.$
Площадь сечения $\alpha$ равна $6.$
Сечение $MB_1KD$ — ромб.
$а)$ Доказательство, что $M$ — середина $AA_1.$
$1.$ Рассмотрим треугольники:
$\triangle AMD$ и $\triangle A_1MB_1.$
$AD = A_1B_1$ (как стороны основания и верхнего квадрата).
$MD = B_1M$ (как стороны ромба).
$2.$ Треугольники равны по гипотенузе и катету:
$\angle MAD = \angle MA_1B_1 = 90^\circ.$
$AD = A_1B_1.$
$MD = B_1M.$
$3.$ Следовательно, $AM = A_1M$, что означает, что $M$ — середина $AA_1$.
$б)$ Нахождение высоты призмы.
$1.$ Найдем сторону основания:
$$AB = \sqrt{S_{осн}} = \sqrt{3}$$ $2.$ Вычислим диагонали: $$AC = BD = AB\sqrt{2} = \sqrt{6}$$ $$MK = AC = \sqrt{6}$$ $3.$ Из площади ромба найдем вторую диагональ: $$6 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot B_1D \Rightarrow B_1D = 2\sqrt{6}$$ $4.$ По теореме Пифагора для пространственной диагонали:
$$B_1D^2 = h^2 + BD^2 \Rightarrow 24 = h^2 + 6 \Rightarrow h = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$
Ответ:
$а)$ Доказано, что точка $M$ — середина $AA_1.$
$б)$ Высота призмы равна $3\sqrt{2}.$
20