ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
14. Стереометрическая задача: #195686
В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB.$ Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $A P : P B = 1 : 3,$ а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1.$ Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha,$ перпендикулярную отрезку $PQ.$
$a)$ Докажите, что плоскости $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам.
$б)$ Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делить отрезок $A_1C_1,$ считая от точки
$A_1,$ если известно, что $AB = AA_1$ и $AB : BC = 2 : 7.$
Прямая призма $ABCA_1B_1C_1$ с параметрами:
Основание $ABC$ — равнобедренный треугольник с $AB$ — основанием.
$AP : PB = 1 : 3$ $($ точка $P \in AB).$
Точка $Q$ — середина $A_1C_1.$
$AB = AA_1.$
$AB : BC = 2 : 7.$
$а)$ Доказательство, что $\alpha$ делит $AC$ пополам
$1.$ Обозначим:
$M$ — середина $BC;$
$N$ — середина $AC;$
$T$ — середина $AB.$
$2.$ Построения:
$CT \perp AB$ (так как $\triangle ABC$ равнобедренный);
$NP \parallel CT$ $($средняя линия $\triangle ACT).$
$3.$ Доказательство:
$MN \perp PQ$ (по теореме о трёх перпендикулярах)
Плоскость $\alpha$ проходит через $M,$ $N$ и перпендикулярна $PQ$
Следовательно, $\alpha$ содержит $N$ — середину $AC.$
$б)$ Нахождение отношения $A_1R : RC_1.$
$1.$ Введем обозначения:
Пусть $AB = 2x$, тогда $BC = 7x.$
$AA_1 = AB = 2x.$
$2.$ Вычислим:
$BT = \dfrac{AB}{2} = x.$
$CT = \sqrt{BC^2-BT^2} = \sqrt{49x^2-x^2} = \sqrt{48}x = 4\sqrt{3}x.$
$NP = \dfrac{CT}{2} = 2\sqrt{3}x$ — средняя линия.
$3.$ Найдем отношения:
$PH : HQ = 3 : 1.$
$P_1S : SQ = 2 : 1$ (из подобия треугольников).
$4.$ Итоговое отношение:
$$A_1R : RC_1 = 1 : 2$$
Ответ:
$а)$ Доказано, что плоскость $\alpha$ делит $AC$ пополам.
$б)$ Отношение деления $A_1C_1$ равно ${1 : 2}.$
20
