14. Стереометрическая задача: #195664

Правильная треугольная пирамида $MABC$ с параметрами:

Высота $MO = 9.$
Боковые ребра $MA = MB = MC = 15.$

$а)$ Доказательство прямоугольности сечения.

$1.$ Обозначим точки:

$F$ — середина $AB.$
$G$ — середина $BC.$
$K$ — середина $MA.$
$L$ — середина $MC.$


$2.$ По построению:
$FK \parallel MB$ и $FK = \dfrac{MB}{2} = 7.5;$
$GL \parallel MB$ и $GL = \dfrac{MB}{2} = 7.5;$
$FG \parallel AC$ (средняя линия).

$3.$ Докажем перпендикулярность:

$AC \perp MBH$ $($так как $AC \perp BH$ и $AC \perp MO).$
Следовательно, $FG \perp FK$ и $FG \perp GL.$

$4.$ Таким образом, $FGLK$ — прямоугольник.

$б)$ Нахождение площади сечения.

$1.$ Найдем основание пирамиды:

$$OB = \sqrt{MB^2-MO^2} = \sqrt{225-81} = 12$$ $$AC = OB\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$$ $2.$ Размеры прямоугольника:

$FG = \dfrac{AC}{2} = 6\sqrt{3}.$
$FK = 7.5$ $($из пункта $а).$

$3.$ Площадь сечения: $$S = FG \cdot FK = 6\sqrt{3} \cdot7.5 = 45\sqrt{3}$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что $FGLK$ — прямоугольник.

$б)$ Площадь сечения равна $45\sqrt{3}.$