14. Стереометрическая задача: #195661

Дан тетраэдр $ABCD$ с точками:
$K \in AC$, $L \in AD$, $M \in DB$, $N \in BC.$
Четырехугольник $KLMN$ — квадрат со стороной $2.$
$AK : KC = 2 : 3.$
Объем тетраэдра $ABCD$ равен $25.$

$а)$ Доказательство отношения $BM : MD = 2 : 3.$

$1.$ Так как $KLMN$ — квадрат:

$KN \parallel LM$ (противоположные стороны квадрата).
$KL \parallel MN$ (противоположные стороны квадрата).

$2.$ Из параллельности следует:

$LM \parallel AB$ $($в плоскости $ADB);$
$KN \parallel AB$ $($в плоскости $ACB);$
$KL \parallel CD$ $($в плоскости $ACD);$
$MN \parallel CD$ $($в плоскости $BCD).$

$3.$ Применяем теорему Фалеса:$$\frac{BM}{MD} = \frac{BN}{NC} = \frac{AK}{KC} = \frac{2}{3}$$

$б)$ Нахождение расстояния от $C$ до $KLMN.$

$1.$ Найдём объём пирамиды $CKMN{:}$

Площадь основания $S_{KMN} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$

$2.$ Используем отношение объемов:
$$\frac{V_{CKMN}}{V_{ABCD}} = \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125}$$ $$V_{CKMN} = \frac{8}{125} \cdot25 = \frac{8}{5}$$

$3.$ Находим расстояние:$$d = \frac{3V_{CKMN}}{S_{KMN}} = \frac{3 \cdot \frac{8}{5}}{2} = \frac{24}{10} = 2.4$$

Ответы:
$а)$ Отношение $BM : MD$ равно $2 : 3.$
$б)$ Расстояние от точки $C$ до плоскости $KLMN$ равно $5.4.$