14. Стереометрическая задача: #195659

$а)$ Доказательство перпендикулярности $BF_1 \perp F_1E_1.$

$1.$ В правильном шестиугольнике:
$\angle CBA = 120^\circ.$
$\angle ABF = 30^\circ$ (так как $BF$ — биссектриса).
Следовательно, $BF \perp BC.$
$2.$ По теореме о трех перпендикулярах:
$BF$ — проекция $BF_1$ на основание.
$BF \perp F_1E_1$ (в плоскости основания).
Значит, $BF_1 \perp F_1E_1.$

$б)$ Нахождение расстояния от $B$ до $E_1F_1.$

$1.$ Рассмотрим треугольник $BFF_1$:
$BF = \sqrt{3}$ (высота правильного шестиугольника).
$FF_1 = 1$ (боковое ребро).

$2.$ По теореме Пифагора:
$$BF_1 = \sqrt{BF^2 + FF_1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что прямая $BF_1$ перпендикулярна прямой.

$б)$Расстояние от точки $B$ до прямой $E_1F_1$ равно $2.$