14. Стереометрическая задача: #195658

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ с параметрами:

Сторона основания $AB = 3.$
Боковое ребро $AA_1 = 4.$

$а)$ Доказательство перпендикулярности плоскостей
$1.$ В правильном шестиугольнике:
$FC \parallel DE$ (противоположные стороны).
$D_1E_1 \parallel DE$ (свойство призмы).
Следовательно, $D_1E_1 \parallel FC.$


$2.$ Плоскость $AEE_1$ содержит:

$AE \perp FC$ (в основании).
$AE \perp AA_1$ (так как $AA_1$ перпендикулярно основанию).

$3.$ По признаку перпендикулярности:
$AE$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $CD_1E_1$ $(FC$ и $D_1E_1).$
Следовательно, $AEE_1 \perp CD_1E_1.$

$б)$ Нахождение расстояния от $C$ до $D_1E_1.$

$1.$ Рассмотрим трапецию $FE_1D_1C$:
$D_1E_1 = 3.$
$FC = 6$ (диаметр шестиугольника).
$FE_1 = CD_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.$

$2.$ Найдем высоту трапеции: $$CH = \frac{FC-D_1E_1}{2} = \frac{3}{2}$$ $$D_1H = \sqrt{CD_1^2-CH^2} = \sqrt{25-\dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{91}{4}} = \frac{\sqrt{91}}{2}$$

Ответ:

$а)$  Доказано, что плоскости $CD_1E_1$ и $AEE_1$ перпендикулярны.
$б)$ Расстояние от точки $C$ до прямой $D_1E_1$ равно $\dfrac{\sqrt{91}}{2}.$