14. Стереометрическая задача: #195657

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребрами:
$AB = 12;$
$AA_1 = 16;$
$AD = 15.$

$а)$ Доказательство отношения объемов $1:3.$

$1.$ Объем параллелепипеда:
$$V_{\text{пар}} = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 12 \cdot 15 \cdot 16 = 2\space880$$
$2.$ Объем пирамиды $A_1BDC_1$ найдем через объемы «отрезаемых» пирамид:

$$V_{A_1 ADB} = \frac{1}{6}V_{\text{пар}} = \frac{1}{6} \cdot 2\space880 = 480 $$ $$V_{C_1CBD} = V_{BA_1B_1C_1} = V_{DA_1D_1C_1} = 480$$ $$V_{A_1BDC_1} = V_{\text{пар}}-4 \cdot 480 = 2\space880-1\space920 = 960 = \frac{1}{3}V_{\text{пар}}$$
$3.$ Таким образом:$$\frac{V_{A_1BDC_1}}{V_{\text{пар}}} = \frac{1}{3}$$

$б)$ Нахождение расстояния от $A_1$ до $BD_1.$

$1.$ Находим необходимые длины:
$$A_1B = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{256 + 144} = 20 $$ $$A_1D_1 = AD = 15 $$ $$BD_1 = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2}$$ $$BD_1 \sqrt{144 + 225 + 256} = 25$$ $2.$ Рассматриваем прямоугольный треугольник $A_1BD_1$:
Катеты: $A_1B = 20,$ $A_1D_1 = 15.$
Гипотенуза: $BD_1 = 25.$

$3.$ Искомое расстояние $A_1E$ — высота к гипотенузе:
$$A_1E = \frac{A_1B \cdot A_1D_1}{BD_1} = \frac{20 \cdot 15}{25} = 12$$

Ответ:
$а)$ Объем пирамиды $A_1BDC_1$ составляет $\dfrac{1}{3}$ объема параллелепипеда.
$б)$ Расстояние от $A_1$ до $BD_1$ равно $12.$