14. Стереометрическая задача: #195651

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ с параметрами:
Сторона основания $AB = 1.$
Высота призмы $AA_1 = 2.$

$а)$ Доказательство отношения объемов $2:1.$

$1.$ Плоскость $\alpha$ проходит через:
Прямую $AB_1.$
Центр грани $ACC_1A_1$ (точка пересечения диагоналей).

$2.$ Сечение призмы плоскостью $\alpha$ — треугольник $AB_1C_1.$

$3.$ Объем пирамиды $AB_1C_1A_1$:
$$V = \frac{1}{3} \cdot AA_1 \cdot S_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{3}V_{\text{призмы}}$$
$4.$ Следовательно, плоскость $\alpha$ делит объем призмы в отношении:
$$V_{\text{верх}} : V_{\text{ниж}} = 1 : 2$$

$б)$ Нахождение расстояния от $B_1$ до $AC_1.$

$1.$ Находим длины: $$B_1A = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$ $$AC_1 = \sqrt{AA_1^2 + AC^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$ $$B_1C_1 = BC = 1$$ $2.$ Треугольник $AB_1C_1$ — равнобедренный $(AB_1 = AC_1 = \sqrt{5}).$

$3.$ Находим медиану $AM$: $$AM = \sqrt{AB_1^2-\left(\frac{B_1C_1}{2}\right)^2} = \sqrt{5-\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$$

$4.$ Через площадь находим искомую высоту $B_1H$: $$\frac{1}{2} \cdot B_1C_1 \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot B_1H$$ $$1 \cdot \frac{\sqrt{19}}{2} = \sqrt{5} \cdot B_1H$$ $$B_1H = \frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{95}}{10}$$

Ответ:
$а)$ Плоскость делит объем в отношении $2:1.$
$б)$ Расстояние равно $\dfrac{\sqrt{95}}{10}.$