ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
14. Стереометрическая задача: #195645
Дана четырехугольная пирамида $SABCD,$ в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $10.$ Известно, что $SA = SC = 10\sqrt{2},$ $SB = 20$ и $AC = 10.$
$а)$ Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $SABCD.$
$б)$ Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $SB.$
$а)$ Докажем, что $SD \perp (ABCD)$:
Найдем диагонали ромба:
$AC = 10,$ значит $AO = OC = 5;$
$BO = \sqrt{10^2-5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3};$
$BD = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}.$
Найдем высоту пирамиды:
$SO = \sqrt{(10\sqrt{2})^2-5^2} = \sqrt{200-25} = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}.$
Проверим перпендикулярность $SD$:
$SD = \sqrt{175 + 75} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}.$
Но $SD^2 = 20^2-(10\sqrt{3})^2 = 400-300 = 100,$ значит $SD = 10.$
Таким образом, $SD \perp DB$ и $SD \perp DA,$ следовательно $SD \perp (ABCD).$
$б)$ Найдем расстояние между $AC$ и $SB{:}$
$AC \perp (SBD)$, так как $AC \perp BD$ и $AC \perp SD.$
Расстояние равно расстоянию от $O$ до $SB{:}$
$OH = \dfrac{10 \cdot 5\sqrt{3}}{20} = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
Ответ:
$а)$ Доказано, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $SABCD.$
$б)$ Расстояние между прямыми $AC$ и $SB$ равно $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
20
