Практика к уроку «Кредит с аннуитетными платежами»

Условие:

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $25%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, то есть за $4$ года, и общая сумма платежей составит $500000$ рублей?

Решение:

Пусть сумма кредита равна $A$ рублей.

Так как кредит погашается четырьмя равными платежами, а общая сумма платежей равна $500000$ рублей, то каждый платёж равен

$X=\frac{500000}{4}=125000$.

Составим таблицу изменения долга.

После четвёртого платежа долг должен быть равен нулю:

$1{,}25^4A-1{,}25^3X-1{,}25^2X-1{,}25X-X=0$

Вынесем $X$:

$1{,}25^4A=X(1{,}25^3+1{,}25^2+1{,}25+1)$

Так как

$1{,}25=\frac54$,

то

$\left(\frac54\right)^4A=125000\left(\left(\frac54\right)^3+\left(\frac54\right)^2+\frac54+1\right)$

Вычислим:

$\left(\frac54\right)^4=\frac{625}{256}$

$\left(\frac54\right)^3+\left(\frac54\right)^2+\frac54+1=\frac{125}{64}+\frac{25}{16}+\frac54+1$

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{125}{64}+\frac{100}{64}+\frac{80}{64}+\frac{64}{64}=\frac{369}{64}$

Получаем:

$\frac{625}{256}A=125000\cdot\frac{369}{64}$

$A=125000\cdot\frac{369}{64}\cdot\frac{256}{625}$

$A=125000\cdot\frac{369\cdot4}{625}$

$A=125000\cdot\frac{1476}{625}$

$A=200\cdot1476$

$A=295200$

Ответ: $295200$ рублей.

Пусть сумма кредита равна $A$ рублей.

Так как кредит погашается четырьмя равными платежами, а общая сумма платежей равна $518400$ рублей, то каждый платёж равен $$X=\frac{518400}{4}=129600.$$

Составим таблицу изменения долга.

После четвёртого платежа долг должен быть равен нулю: $1{,}2^4A-1{,}2^3X-1{,}2^2X-1{,}2X-X=0$.

Вынесем $X$: $1{,}2^4A=X(1{,}2^3+1{,}2^2+1{,}2+1)$.

Так как $1{,}2=\frac65$, то $$\left(\frac65\right)^4A=129600\left(\left(\frac65\right)^3+\left(\frac65\right)^2+\frac65+1\right).$$

Вычислим:

$\left(\frac65\right)^4=\frac{1296}{625}$
$\left(\frac65\right)^3+\left(\frac65\right)^2+\frac65+1=\frac{216}{125}+\frac{36}{25}+\frac65+1$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{216}{125}+\frac{180}{125}+\frac{150}{125}+\frac{125}{125}=\frac{671}{125}.$$

Получаем: $$\frac{1296}{625}A=129600\cdot\frac{671}{125}.$$

$A=129600\cdot\frac{671}{125}\cdot\frac{625}{1296}$
$A=129600\cdot\frac{671\cdot5}{1296}$
$A=100\cdot3355$
$A=335\ 500$.

Ответ: $335\ 500$ рублей.

Пусть платёж в 2027 и 2028 годах равен $X$ тыс. рублей.

Составим таблицу изменения долга.

Так как после платежа в 2029 году долг должен стать равен нулю, получаем уравнение: $$1{,}2(1{,}2(1080-X)-X)-763{,}2=0.$$

Упростим выражение: $$1{,}2(1080-X)=1296-1{,}2X.$$

Тогда:

$1{,}2(1080-X)-X=1296-1{,}2X-X$
$1{,}2(1080-X)-X=1296-2{,}2X$.

Теперь начислим проценты перед платежом 2029 года:

$1{,}2(1296-2{,}2X)=763{,}2$
$1555{,}2-2{,}64X=763{,}2$
$2{,}64X=1555{,}2-763{,}2$
$2{,}64X=792$
$X=300$.

Значит, платёж в 2027 году равен $300$ тыс. рублей.

Ответ: $300\ 000$ рублей.

Пусть сумма кредита равна $A$ тыс. рублей.

Так как платежи в 2027 и 2028 годах равны $400$ тыс. рублей, составим таблицу изменения долга.

Сумма платежей за 2027 и 2028 годы: $400+400=800$.

Тогда платёж в 2029 году равен: $1073{,}9-800=273{,}9$.

Так как после платежа в 2029 году долг полностью погашен, получаем уравнение: $1{,}1(1{,}1(1{,}1A-400)-400)=273{,}9$.

Упростим выражение: $1{,}1A-400$.

После начисления процентов в 2028 году: $$1{,}1(1{,}1A-400)=1{,}21A-440.$$

После платежа 2028 года: $$1{,}21A-440-400=1{,}21A-840.$$

После начисления процентов в 2029 году: $$1{,}1(1{,}21A-840)=1{,}331A-924.$$

Получаем:

$1{,}331A-924=273{,}9$
$1{,}331A=1197{,}9$
$A=900$.

Значит, в кредит планируется взять $900$ тыс. рублей.

Ответ: $900\ 000$ рублей.

Пусть сумма кредита равна $A$ тыс. рублей.

Так как платежи в 2027 и 2028 годах равны $400$ тыс. рублей, составим таблицу изменения долга.

Сумма платежей за 2027 и 2028 годы: $400+400=800$.

Тогда платёж в 2029 году равен: $1027{,}7-800=227{,}7$.

Так как после платежа в 2029 году долг полностью погашен, получаем уравнение: $$1{,}15(1{,}15(1{,}15A-400)-400)=227{,}7.$$

Упростим выражение: $1{,}15A-400$.

После начисления процентов в 2028 году: $$1{,}15(1{,}15A-400)=1{,}3225A-460.$$

После платежа 2028 года: $$1{,}3225A-460-400=1{,}3225A-860.$$

После начисления процентов в 2029 году: $$1{,}15(1{,}3225A-860)=1{,}520875A-989.$$

Получаем:

$1{,}520875A-989=227{,}7$
$1{,}520875A=1216{,}7$
$A=800$.

Значит, в кредит планируется взять $800$ тыс. рублей.

Ответ: $800\ 000$ рублей.

Пусть платежи в 2027 и 2028 годах равны $X$ тыс. рублей.

Составим таблицу изменения долга.

Так как после платежа в 2029 году долг должен стать равен нулю, получаем уравнение: $1{,}25(1{,}25(1000-X)-X)=718{,}75$.

Упростим выражение: $1{,}25(1000-X)=1250-1{,}25X$.

Тогда долг после платежа в 2028 году: $1250-1{,}25X-X=1250-2{,}25X$.

После начисления процентов в 2029 году:

$1{,}25(1250-2{,}25X)=718{,}75$
$1562{,}5-2{,}8125X=718{,}75$
$2{,}8125X=1562{,}5-718{,}75$
$2{,}8125X=843{,}75$
$X=300$.

Значит, платежи в 2027 и 2028 годах равны по $300$ тыс. рублей.

Найдём общую сумму всех платежей: $300+300+718{,}75=1318{,}75$.

Ответ: $1,318,750$ рублей.